数列求和 1/1*2+1/2*3+1/3*4+..+1/9*10

n/(n+1)!=[(n+1)-1]/(n+1)!
=1/n!-1/(n+1)!.
不明白追问

用S表示前N项和
S=1+4a+9a^2+16a^3+ … +[(n-1)^2]*a^(n-2)+(n^2)*a^(n-1) ①
aS=a+4a^2+9a^3+16a^4+ … +[(n-1)^2]*a^(n-1))+(n^2)*a^n ②
①-②得：
(1-a)S=1+3a+5a^2+7a^3+ … +(2n-3)*a^(n-2)+(2n-1)*a^(n-1)-(n^2)*a^n ③
a(1-a)S=a+3a^2+5a^3+7a^4+ … +(2n-3)*a^(n-1)+(2n-1)*a^n-(n^2)*a^(n+1) ④
③-④得：
(1-a)^2*S=1+2a+2a^2+2a^3+2a^4+ … +2a^(n-1)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
(1-a)^2*S=1+2[a+a^2+a^3+a^4+ … +a^(n-1)]+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
(1-a)^2*S=1+2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)
S={1+2a[1-a^(n-1)]/(1-a)+(n-1)^2*a^n+(n^2)*a^(n+1)}/(1-a)^2
剩下的自己整理吧.打的好辛苦哦.
用两次错位相消法

An=(2n+1)^2/[2n(n+1)]
An=(4n^2+4n+1)/2n(n+1)=2+1/2n(n+1)=2+1/2(1/n-1/n+1)
Tn=2n+1/2(1-1/n+1)
Tn=2n+n/(2n+2)

sin(π/2-x)=cosx
原式=sin^2 1°+……+sin^2 44°+1/2+cos^2 44°+……+cos^2 1°
=44+1/2
=89/2

an=2^(n+1)+3
Sn=a1+a2+a3+……+an
Sn=(2^2+3)+(2^3+3)+(2^4+3)+……+(2^(n+1)+3)
Sn=(2^2+2^3+2^4+……+2^(n+1))+3n
前面用等比数列求和公式
Sn=2^(n+2)-4+3n
Sn=2^(n+2)+3n-4

n≥2时,
an²-a(n-1)²=a(n-1)an
an²-ana(n-1)=a(n-1)²
等式两边同除以a(n-1)²
[an/a(n-1)]²-[an/a(n-1)]=1
[an/a(n-1) -1/2]²=5/4
an/a(n-1) -1/2=√5/2或an/a(n-1) -1/2=-√5/2(舍去)
an/a(n-1)=(1+√5)/2,为定值.
a1=1,数列{an}是以1为首项,(1+√5)/2为公比的等比数列
an=1×[(1+√5)/2]^(n-1)=[(1+√5)/2]^(n-1)
1/an=[2/(1+√5)]^(n-1)=[(√5-1)/2]^(n-1)
1/[an²-a(n-1)²]=1/[ana(n-1)]
1/[(an+a(n-1))(an-a(n-1))]=1/[ana(n-1)]
1/[an+a(n-1)]=[an-a(n-1)]/[ana(n-1)]=1/a(n-1)-1/an
1/(a1+a2)+1/(a2+a3)+...+1/[a(n-1)+an]
=1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/a(n-1)-1/an
=1/a1-1/an
=1/1 -[(√5-1)/2]^(n-1)
=1- [(√5-1)/2]^(n-1)

哈哈这不是调和级数嘛 极限发散 至于前n项和嘛 比较复杂

等比数列
公比q=2 直接用公式
s=(2^n)-1

1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/9^10
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/9-1/10
=1-1/10
=9/10

n(3n+1)=3n^2+n,整个数列拆为3（n^2+---+1^2）+n+（n-1）+---+1,然后直接套公式

你只要能看到卷积形式应该对应于多项式乘法就能做出来.
考察母函数g(x)=f[1]x+f[2]x^2+...f[n]x^n+...,条件相当于2/3*g^2=g-x/3,解出g(x)=3/4*(1-sqrt(1-8/9*x)),幂级数的收敛半径为9/8,所以1在收敛圆内,直接得到s[n]的极限就是g(1)=1/2.s[n]的通项可能没什么很简洁的形式.

由公式cos(2k+1)ΩsinΩ=[sin(2k+2)Ω-sin(2k)Ω]/2得cos(2k+1)Ω=[sin(2k+2)Ω-sin(2k)Ω]/(2sinΩ)所以上式=[sin2Ω-sin0Ω+sin4Ω-sin2Ω+...+sin(2n+2)Ω-sin(2n)Ω]/(2sinΩ)=sin(2n+2)Ω/(2sinΩ)

S=1*2^1+3*2^2+5*2^3+...+(2n-1)*2^n
2S=1*2^2+3*2^3+5*2^4+...+(2n-1)*2^(n+1)
S-2S=2^1+2*2^2+2^3+.+2*2^n-(2n-1)*2^(n+1)
S-2S=2*2^1+2*2^2+2^3+.+2*2^n-(2n-1)*2^(n+1)-2
-S=4*(1-2^n)/(1-2)-(2n-1)*2^(n+1)-2
-S=2^(n+2)-4-(2n-1)*2^(n+1)-2
S=(2n-1)*2^(n+1)-2^(n+2)+6
S=(2n-1)*2^(n+1)-2*2^(n+1)+6
S=(2n-3)*2^(n+1)+6