伽马函数的全定义积分式请问伽马函数Γ(z)的全定义积分式有几种?(z为全体复数)

为了让beta函数更好看一点.
B(m, n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n)

直接求值
在x=0时
x^r =0
e^(-x)=1,所以此项为0
在x=正无穷时
x^r是无穷
e^(-x)趋向于0,所以是一个无穷乘以0的不定型,化成分式,采用洛必达
x^r e^(-x)=x^r/e^x
上下都趋于无穷
洛必达
分子分母同求导
=rx^(r-1)/e^x
如此求导 r取整 +1 次, 令之为n>r
上面会变成
常数*x^(r-n)/e^x
当x->无穷,r-n

Γ(x)称为伽马函数,它是用一个积分式定义的,不是初等函数.
伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x),Γ(0)=1,Γ(1/2)=√π,对正整数n,有Γ(n+1)=n!

E(X)=∫[c,+∞)x*β^α/Γ(α)*(x-c)^(α-1)*e^[-β(x-c)]*dx (α>0,β>0)
=∫[0,+∞)(t/β+c)*β^α/Γ(α)*(t/β)^(α-1)*e^(-t)*1/β*dt
=1/Γ(α)*∫[0,+∞){t^[(α+1)-1]/β+ct^(α-1)}e^(-t)dt
=1/Γ(α)*[1/β*Γ(α+1)+cΓ(α)]
=1/Γ(α)*[α/β*Γ(α)+cΓ(α)]
=α/β+c

Γ(x) * Γ(1-x) = π * csc(π x)

令t＝（x/β）^α.则 x＝βt^（1/α）.dx＝（β/α）t^[（1/α）-1]dt
x^（n-1）＝β^（n-1）×t^[（n-1）/α].代入原式.
对照Γ（α）＝∫ [0,+∞]t^（α-1）e^（-t）dt （α＞0）
n∫ [0,＋∞]｛x^（n-1）*e^[-（x/β）^α]｝dx
＝n ∫ [0,＋∞]｛β^（n-1）×t^[（n-1）/α].×e^（-t）×（β/α）t^[（1/α）-1]｝dt
＝（n/α）（β^n） ∫ [0,＋∞]｛t^[（n/α）-1]e^（-t）｝dt
＝（n/α）（β^n）Γ（n/α）（当然n/α＞0）
[上次匆忙,结果出错,抱歉!]

嗯,问题好像不是很严密.Γ 函数其实是可以拓展到实轴负半轴的,
当α>0时,Γ(α) 是严格的凸函数.负半轴的Γ(α) 在 (-2n,-2n+1) 是严格的凸函数,
在(-2n+1,-2n+2)是严格的凹函数.n=1,2,3,.
只证明当α>0时,Γ(α) 是严格的凸函数.（负半轴的其实是由大于0的部分递推得到的,其实还可以拓展到整个复平面.）
按定义 Γ(α) = ∫_(0

Γ（n+1）=n!