当x→0,lim[(√1+x+x²)-1]/sin2x

你的意思是已知f(x)连续要求a,b的值吧.
当x>0时,f(x) = ln(1+ax)/sin2x ,因此 x->0+ 时
limf(x)=lim[ln(1+ax)/x]/(sin2x/x),对分子分母同时求极限即知 x->0+ 时
limf(x)=a/2=1,所以a=2
当x0-时
limf(x)=lim(e^bx - 1)/x=lim(bx/x)=b,若要f(x)在0处连续则需b=1.
综上即有a=2,b=1

洛必达法则解题要求：其中一种是0/0型,还有无穷/无穷型,不等式问题等,此题不符合其中任何一种情况,所以不能直接用洛必达求解.

limx→0{√(x+1)-1}/sin2x=limx→0（x/sin2x)*1/({√(x+1)+1)=2/2=1

f(x)=[2(cosx)^2+8(sinx)^2]/(2sinxcosx)=(cosx/sinx)+(4sinx/cosx)≥4.等号仅当cosx/sinx=4sinx/cosx时取得,即tanx=1/2时取得.故f(x)min=4.

当x-->0时,
lim{In(e^x+x)}/sin2x
=lim{In(e^x+x)}/2x
=lim{1/(e^x+x)}*(e^x+1)/2
=1/1 *(1+1)/2
=2/2
=1

f(x)=ln(1+ax)/sin2x,x>0
f(x)=1,x=0
f(x)=[e^(bx)-1]/x
在点0连续,
则有:
lim(x->0+)f(x)=lim(x->0-)f(x)=1
lim(x->0+)a/[2(1+ax)cos2x]=lim(x->0-)be^(bx)=1
a/2=b=1
所以
a=2,b=1

f(x)=1+2cosx/sin2x=1+1/sinx
sinx=1,x=π/2,取最小值2
没有最大值,因为当x-->0,1/sinx趋于无穷大.

把之前的全部删除了,重新写给你看.另外那一位同学的截图的答案,结果是正确的,但是过程其实是不准确的
设x→0时,lim ln(1+f(x)/sin2x)/(3的x次方-1)=5,求x→0时 lim f(x)/x的平方
我把全过程解给你看
因为x→0时,lim [ ln(1+f(x)/sin2x)]/(3^x-1)=5
而当x→0时,(3^x-1)等价于xln3
所以有x→0时,lim [ ln(1+f(x)/sin2x) ]/x=5ln3
也就是 x→0时,lim ln(1+f(x)/sin2x)是x的同阶无穷小
所以 x→0时,lim ln(1+f(x)/sin2x)=0
由公式 当x→0时,lim ln(1+x)等价于x,且此时lim ln(1+x)=0
可知当x→0时,lim ln(1+f(x)/sin2x)必然等价于f(x)/sin2x
又因为x→0时,sin2x等价于2x
所以之前的式子就可以化成
x→0时,lim [f(x)/2x]/x=5ln3
那么x→0时,lim f(x)/x^2=2*5ln3=10ln3
至于为什么我说那位同学的截图过程是错误的呢
因为那你现在的原题,题目中并没有说f(x)可导的条件
因此就不能运用洛必达法则
洛必达法则运用的条件是f(x)在某个领域内要有连续的导数才行
因此他用洛必达法则解是错误的

使用一次L'Hospital法则(同济版《高等数学》上译名称为洛必达法则)就可以得到结果：
原式=lim(x→0)[e^x+e^(-x)]/2cos2x=1

[ln(1+3x)]'/[sin2x]'=3/[2(1+3x)cos2x]→3/2,x→0

分子是2倍sinx的平方+cosx的平方吧?
y = (2(sinx)^2 + (cosx)^2) / sin2x
= (2(sinx)^2 + (cosx)^2) / 2sinxcosx
= tanx + 1/2(tanx)
因为x属于(0,π/2),所以tanx > 0
所以y >= 2 * 根号(tanx * 1/2tanx) = 2 / 根号2 = 根号2
当且仅当tanx = 1/2tanx,即tanx = 根号2 / 2时取等号.
最小值为根号2.

依罗比达法则,知
lim[(1-cosx)/sin2x]
＝lim[sinx/(2cos2x)]
＝0.

使用洛必达法则
limx→0f(x)/sin2x
=limx→0f‘(x)/（sin2x）'
=limx→0f'(x)/2cos2x
=2/2
=1

这个应该是有最值的
f'x=(-sinxsin2x+cosxcos2x)/sin²x
=cos3x/sin2x
f'x=0 x=π/6

这是一个0/0的极限
方法一：
利用等价无穷小（当x→0时,有ln(1+x)与x是等价无穷小,sinx与x是等价无穷小）
则limx→0 ln(1+2x)/sin2x=limx→0 2x/2x=1
求极限首选等价无穷小,这样做题比较方便
方法二：
洛比达法则,上下求导数
limx→0 ln(1+2x)/sin2x=limx→0 2/[2(1+2x)cos2x]=1

[（sinx+cosx-1）（sinx-cosx+1）]/sin2x
=[sinx+(cosx-1)][sinx-(cosx-1)]/sin2x
=[(sinx)^2-(cosx-1)^2]/sin2x
=[(sinx)^2-(cosx)^2+2cosx-1]/sin2x
=[(sinx)^2-(cosx)^2+2cosx-1]/sin2x
=-[-(sinx)^2+(cosx)^2-2cosx+1]/sin2x
=-[1-(sinx)^2+(cosx)^2-2cosx]/sin2x
=-[(cosx)^2+(cosx)^2-2cosx]/sin2x
=-[2(cosx)^2-2cosx]/2sinxcosx
=-2cosx[cosx-1]/2sinxcosx
=-[cosx-1]/sinx
=(1-cosx)/sinx

y'=[sin2x+2(sin2x)^2-2cos2x-2(sinx)^2cos2x]/(sin2x)^2

用等价无穷小,以下lim符号省略
原式=2sin^2(x/2)/sin2x
=2(x/2)^2/(2x)
=x/4=0
与你给出的答案不一样,你看看是不是你答案看错了或者分母打错了

x→0则sin2x~2x
原式=lim(x→0)[√(x+1)-1]/2x
上下乘√(x+1)+1
分之是平方差=x+1-1=x
和分母约分
所以原式=lim(x→0)1/{2[√(x+1)+1]}
=1/(2×2)
-=1/4

lim (x→0)[√(4+x)-2]/sin2x (等价无穷小代换)
=lim (x→0)[√(4+x)-2]/(2x) (分子有理化）
=lim (x→0)[√(4+x)-2][√(4+x)+2]/{[√(4+x)+2](2x) }
=lim (x→0)x/{[√(4+x)+2](2x) }
=1/8

y=[2(sinx)^2+1]/sin2x
=[3(sinx)^2+(cosx)^2]/2sinxcosx
=(3/2)sinx/cosx+(1/2)cosx/sinx
>=2*[(3/2)*(1/2)]^(1/2)
=3^(1/2)
均值不等式的应用.