∫{(xlnx)/[(1+x^2)^2]}dx

设x=tanA,上式可化简为“积分号1/(1+(tanA)^2)^2dtanA”利用公式"(tanA)^2+1=(secA)^2"和"dtanA=(secA)^2dA"进一步化简为“积分号(cosA)^2dA”然后就是倍角公式展开,积分,换元这些基本工作了.如果把括号外面的平方换成三次方四次方,那就是“积分号(cosA)^3dA”或“积分号(cosA)^4dA”有一个递推公式,微积分教材上都有,应该没有人不知道吧?

karctanx|(0,1)=1
k·π/4=1
k=4/π

仔细观察,不难得出,此数列为等比数列,不妨设a1=x/(1+x^2) ,且q=x/(1+x^2)
∴Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=x/(1+x^2) {1-[x/(1+x²)]^n}/{1-（x/（1+x²）]
整理得：Sn=x/(x²-x+1)×{1-[x/(1+x²)]^n}

∫(-1到1) dx/(x²+1)²
= 2∫(0到1) dx/(x²+1)²
令x=tanz,dx=sec²z dz
当x=0,z=0 // 当x=1,z=π/4
= 2∫(0到π/4) (sec²z)/(sec⁴z) dz
= 2∫(0到π/4) cos²z dz
= ∫(0到π/4) (1+cos2z) dz
= (z+1/2*sin2z)[0到π/4]
= [π/4+1/2]
= (2+π)/4

∫ xlnx/(1+x^2)^2 dx= 1/2*∫ lnx/(1+x^2)^2 d(1+x^2)= -1/2*∫ lnx d[1/(1+x^2)]= -1/2*lnx*1/(1+x^2) + 1/2*∫ [1/(1+x^2)] dlnx= -1/2*lnx*1/(1+x^2) + 1/2*∫ x/[x^2(1+x^2)] dx= -1/2*lnx*1/(1+x^2) + 1/4*∫ ...

{x[(1+x^2)^2]dx
因为d(1+x^2)=2x
所以上式=1/2{[(1+x^2)^2]d(1+x^2)
然后设(1+x^2)为t
则变成(1/2){t^2 dt
=(1/2)*(t^3/3)
=t^3/6
最后把t=(1+x^2)带回
得到1/6[(1+x^2)^3]+C
C(5,2)=5!/(5-2)!*2!=1*2*3*4*5/(1*2*3)*(1*2)=20/2=10
C(2,100)=100!/(100-2)!*2!=99*100/2=4950
所以C(5,2)/C(2,100)=10/4950=1/495

可以这么写因为d(1+x^2）=2xdx
d[1/(1+x^2)]=2x/(1+x^2)dx
你把dx看成乘数,就好看了

(x^4)^2÷[(x^2)^2·x^2]-x^2÷(-x^0)
=x^8÷x^6÷1
=x²÷1
=x²

记In＝∫1/(1+x^2)^n dx
那么In= ∫1/(1+x^2)^n dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nIn+1
最终有
In+1=(2n-1)/2n*In+1/2n*x/(1+x^2)^n
显然I1＝arctan(x)+c
那么I2＝1/2*[x/(1+x^2)+arctan(x)]+c

设 x=tant,dx=(sect)^2dt,
t=arctanx,1+x^2=(sect)^2,cost=1/√（1+x^2),
sint=x/√（1+x^2),
sin2t=2sintcost=2x/(1+x^2)
原式=∫(tant)^2(sect)^2dt/*(sect)^4
=∫(sint)^2*(cost)^2dt/(cost)^2
=∫（sint)^2dt
=(1/2)∫（1-cos2t)dt
=t/2-(1/4)sin2t+C
=(1/2)arctanx-x/[2(1+x^2)]+C.

1/(1+x²)²,偶函数
1+x²,偶函数
sinx,奇函数
∴∫sinx/(1+x²)²dx=0
∴∫(1+x²)/(1+x²)²dx=2∫(0,1)1/(1+x²)dx=2arctanx |(0,1)=2(π/4)=π/2

原式=-1/2∫lnxd[1/(1+x^2)]
=1/2[∫(1/x)*1/(1+x^2)dx-(lnx)*1/(1+x^2)|1→e]
=1/2[1/2∫(1/x^2-1/(1+x^2))dx^2-1/(1+e^2)]
=1/2{1/2ln[x^2/(1+x^2)]|1→e-1/(1+e^2)]}
=1/2{1-1/2ln[(1+e^2)/2]-1/(1+e^2)}
貌似不能化简,自己看看吧.|1→e表示上下限

先分部积分,再三角换元
令u=ln[x+√(1+x^2)],dv=x/[(1+x^2)^2]
则du=1/[(1+x^2)^(1/2)],v=-1/(1+X^2)
化为求1/[(1+x^2)^(3/2)]的积分
令x=tant,则dx=(sect)^2dt
化为求1/sect即cost的积分

1、
∫ (x+2)dx/√(x²-2x+4)
= (1/2)∫ (2x-2+6)dx/√(x²-2x+4)
= (1/2)∫ (2x-2)dx/√(x²-2x+4) + 3∫ dx/√(x²-2x+4)
= (1/2)∫ d(x²-2x+4)/√(x²-2x+4) + 3∫ dx/√[(x-1)²+3]
= (1/2)*2√(x²-2x+4) + 3∫ d(x-1)/√[(x-1)²+(√3)²]
= √(x²-2x+4) + 3ln|x-1+√[(x-1)²+3]| + C
2、
∫ dx/(1+x²)²,u=tanθ,du=sec²θdθ
= ∫ sec²θdθ/sec^4θ
= ∫ cos²θ dθ
= (1/2)∫ (1+cos2θ) dθ
= (1/2)(θ+1/2*sin2θ) + C
= (1/2)[x/(1+x²)+arctanx] + C
3、
∫ dx/(3+sin²x)
= ∫ dx/[3+(1-cos2x)/2]
= 2∫ dx/(7-cos2x),y=2x,dy=2dx
= ∫ dy/(7-cosy),u=tan(y/2),dy=2du/(1+u²),cosy=(1-u²)/(1+u²)
= ∫ du/(3+4u²)
= (1/4)∫ du/(u²+3/4)
= (1/4)∫ du[u²+√(3/4)²]
= (1/4)*[1/√(3/4)]*arctan[u/√(3/4)] + C
= (1/4)*(2/√3)*arctan(2u/√3) + C
= (1 / 2√3)*arctan(2tan(x/2)/√3) + C
= [arctan(2tanx / √3)] / (2√3) + C
4、
∫ dx/sin²√x,u=√x,dx=2u du
= 2∫ ucsc²u du
= -2∫ u d(cotu)
= -2ucotu + 2∫ cotu du
= -2ucotu + 2∫ 1/sinu dsinu
= -2ucotu + 2ln|sinu| + C
= 2ln|sin√x| - 2√x*cot√x + C
5、
∫ (x-cosx)dx/(1+sinx)
= ∫ (x-cosx)(1-sinx)dx/[(1+sinx)(1-sinx)]
= ∫ (x-cosx-xsinx+sinxcosx)dx/cos²x
= ∫ xsec²x dx -∫ secx dx - ∫ xsecxtanx dx + ∫ tanx dx
= ∫ x dtanx - ∫ secx dx - ∫ x dsecx + ∫ tanx dx
= (xtanx - ∫ tanx dx) - ∫secx dx - (xsecx - ∫ secx dx) + ∫ tanx dx
= xtanx - xsecx + C
= x(tanx - secx) + C

在分子上+1-1,
原式拆为2项=∫1/(1+x^2) dx -∫1/(1+x^2)^2 dx
其中第1个积分∫1/(1+x^2) dx的原函数是arctanx,计算得=π/4,
第2个积分∫1/(1+x^2)^2 dx用换元令x＝tant,得=∫(上限为π/4,下限为0)（cost）^2 dt
=∫(上限为π/4,下限为0)（1+cos2t）/2 dt
（计算得）=π/8+1/4,
原式=π/8 - 1/4.

x(1+x^2)^2dx
=1/2 (1+x^2)^2 d(x^2+1)
=1/6 (1+x^2)^3 +C

∫ dx/(a² + x²)
= ∫ dx/[a²(1 + x²/a²)]
= (1/a²)∫ dx/(1 + x²/a²)
= (1/a²)∫ d(x/a · a)/(1 + x²/a²)
= (1/a²)(a)∫ d(x/a)/(1 + x²/a²)
= (1/a)∫ d(x/a)/[1 + (x/a)²]
= (1/a)arctan(x/a) + C

y′=2(1+x^2)(x^2)′
=4(x+x^3)
复合函数求导时 可以把（1+x^2）=z
y=z^2
y′=2z*z′=4(x+x^3)

原式=-1/2∫lnxd[1/(1+x^2)]
=1/2[∫(1/x)*1/(1+x^2)dx-(lnx)*1/(1+x^2)|1→e]
=1/2[1/2∫(1/x^2-1/(1+x^2))dx^2-1/(1+e^2)]
=1/2{1/2ln[x^2/(1+x^2)]|1→e-1/(1+e^2)]}
=1/2{1-1/2ln[(1+e^2)/2]-1/(1+e^2)}
貌似不能化简,自己看看吧.|1→e表示上下限