已知函数f（x）=2sinωx•cos（ωx+[π/6]）+[1/2]（ω＞0）的最小正周期为4π（1）求正实数ω的值；

（I）∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos ² ωx=
1
2 （1+cos2ωx）
∴f（x）=sin2ωx+
3 （1+cos2ωx）-
3
=sin2ωx+
3 cos2ωx=2sin（2ωx+
π
3 ）
∵函数f（x）的最小正周期为π
∴
2π
2ω =π，解之得ω=1
（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+
π
3 ）
将函数y=f（x）的图象向右平移
π
6 单位长度，得到y=f（x+
π
6 ）的图象；
再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的
1
2 倍（纵坐标不变）得到y=f（2x+
π
6 ）的图象
∴函数y=g（x）的解析式为y=2sin[2（2x+
π
6 ）+
π
3 ]，可得g（x）=2sin（4x+
2π
3 ）
令-
π
2 +2kπ≤4x+
2π
3 ≤
π
2 +2kπ，k∈Z，解之得-
7π
24 +
kπ
2 ≤x≤
5π
24 +
kπ
2 ，k∈Z
∴函数g（x）的单调增区间是[-
7π
24 +
kπ
2 ，
5π
24 +
kπ
2 ]，k∈Z
同理，令
π
2 +2kπ≤4x+
2π
3 ≤
3π
2 +2kπ（k∈Z ），得g（x）的单调减区间是[
5π
24 +
kπ
2 ，
17π
24 +
kπ
2 ]，k∈Z
综上所述，可得g（x）的单调减区间是[
5π
24 +
kπ
2 ，
17π
24 +
kπ
2 ]，单调增区间是[-
7π
24 +
kπ
2 ，
5π
24 +
kπ
2 ]，k∈Z．

解题思路：（I）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，根据周期公式求ω的值，从而可求f（x），进而可求f（[π/4]）
（Ⅱ）由（I）中函数的解析式，结合正弦函数的性质研究函数的最值及取得最值的条件

（Ⅰ）f(x)＝sin2ωx−cos2ωx−1＝
2sin(2ωx−
π
4)−1．
因为[T/2＝
π
2]，所以T=π，ω=1．（3分）
所以f(x)＝
2sin(2x−
π
4)−1．
所以f(
π
4)＝0（7分）
（Ⅱ）f(x)＝
2sin(2x−
π
4)−1
当x∈[0，
π
2]时，−
π
4≤2x−
π
4≤
3π
4，（9分）
所以当2x−
π
4＝
π
2，即x＝
3π
8时，f(x)max＝
2−1，（11分）
当2x−
π
4＝−
π
4，即x=0时，f（x）_min=-2．（12分）

点评：
本题考点： 三角函数的最值；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．

考点点评： 本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式把不同名的三角函数含为一个角的三角函数，进而研究三角函数的性质：周期性及周期公式，函数的最值的求解．

f(x) = 2sin(pai/4(x+1))
f(x+2) = 2sin(pai/4(x+3)) = 2sin(pai/4 x + pai/4 + pai/2) = -2cos(pai/4(x+1))
f(x)+f(x+2) = 2 (sin (...) - cos(...)) = 2根号（2）sin (pai/4 x)
x = -6,f(x)+f(x+2) = 2根号（2）
x = -2,f(x)+f(x+2) = -2根号（2）

解题思路：（Ⅰ）通过二倍角、两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，利用周期求出ω，通过最大值求出a的值；
（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式化简f（θ）=[2/3]，求出sin（2θ+[π/3]）的值，由θ的范围求出2θ+[π/3]的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2θ+[π/3]）的值，由sin2θ=sin[（2θ+[π/3]）-[π/3]]，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin2θ的值，即可确定出f（[π/3]-θ）的值．

（Ⅰ）f（x）=2sinωx•cosωx+2Acos²ωx-A=sin2ωx+Acos2ωx=
A2+1sin（2ωx+φ）
∵T=[2π/2ω]=π，ω＞0，
∴ω=1，
由
A2+1=2，得A=
3；
（II）f（x）=2sin（2x+[π/3]），
∴f（θ）=2sin（2θ+[π/3]）=[2/3]，
即sin（2θ+[π/3]）=[1/3]，
∵[π/6]＜θ＜[π/3]，
∴[2π/3]＜2θ+[π/3]＜π，
∴cos（2θ+[π/3]）=-
1−(
1
3)2=-
2

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．

考点点评： 此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

f(x)=2sin((π/4)x+π/4),故：f(x+2)=2sin((π/4)x+3π/4)
所以：f(x)+f(x+2)=2sin((π/4)x+π/4)+2sin((π/4)x+3π/4)
=2*2sin(πx/4+π/2)cos(π/4)=2sqrt(2)cos(πx/4)
当x∈[-6,-2/3]时,πx/4∈[-3π/2,-π/6]
当πx/4=-π,即x=-4时,函数取得最小值-2sqrt(2)；
当πx/4=-π/6,即x=-2/3时,函数取得最大值sqrt(6)

解题思路：（I）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，根据周期公式求ω的值，从而可求f（x），进而可求f（[π/4]）
（Ⅱ）由（I）中函数的解析式，结合正弦函数的性质研究函数的最值及取得最值的条件

（Ⅰ）f(x)＝sin2ωx−cos2ωx−1＝
2sin(2ωx−
π
4)−1．
因为[T/2＝
π
2]，所以T=π，ω=1．（3分）
所以f(x)＝
2sin(2x−
π
4)−1．
所以f(
π
4)＝0（7分）
（Ⅱ）f(x)＝
2sin(2x−
π
4)−1
当x∈[0，
π
2]时，−
π
4≤2x−
π
4≤
3π
4，（9分）
所以当2x−
π
4＝
π
2，即x＝
3π
8时，f(x)max＝
2−1，（11分）
当2x−
π
4＝−
π
4，即x=0时，f（x）_min=-2．（12分）

点评：
本题考点： 三角函数的最值；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．

考点点评： 本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式把不同名的三角函数含为一个角的三角函数，进而研究三角函数的性质：周期性及周期公式，函数的最值的求解．