裂项相消法、错位相减法、倒序相加 ,反序相加法求和这些思想是哪位数学家先提出来的

1/2[(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+.+(1/n-1/(n+2))]
=1/2（1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+.+1/n-1/n+2）
=1/2(1+1/2-1/（n+1）-1/(n+2))
=1/2（3/2-1/（n+1）-1/(n+2))

1、{1/[n(n＋1)]}的前n项和；
2、{1/(n²－1)}前n项和；
3、{1/[n(n＋2)]}的前n项和.
注：第一个是最简单的裂项求和,第二个需要分拆,第三个既要分拆又剩下的首尾各两项.

裂项相消法 最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,最后只剩首尾两项）
=1-1/(n+1)
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+.+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2

裂项相消法,从形式上看,都是上面类似的分式形式.当分母上两个因式相差为常数时就可以利用.
如上题,你先确定是裂项相消法,那直接写成1/（n+1）-1/（n+4）,然后把式子通分,看与原式子相差多少,乘以常数即可.

裂项相消法 最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,最后只剩首尾两项）
=1-1/(n+1)
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+.+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2

1.公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)2.错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+.+an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3).+a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/24.分组法
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.例如：an=2^n+n-15.裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项.常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1) 小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.注意：余下的项具有如下的特点 1余下的项前后的位置前后是对称的.2余下的项前后的正负性是相反的.
6.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值,k为自然数）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 证明：当n=1时,有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5 假设命题在n=k时成立,于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即n=k+1时原等式仍然成立,归纳得证7.通项化归
先将通项公式进行化简,再进行求和.如：求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和.此时先将an求出,再利用分组等方法求和.
8.并项求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n （并项）
求出奇数项和偶数项的和,再相减.等差数列的重要规律
1.an=m,am=n,(m不等于n),则a(m+n)=0
证明：令m>n得：
am-an=(m-n)d=n-m 即：d=-1
an=a1+(n-1)d=m 可得：a1=m+n-1
a(m+n)=a1+(m+n-1)d=02.Sn=m,Sm=n,(m不等于n),则Sm+n=-（m+n）
证明：令m>n得：
Sn=[a1+a1+(n-1)d]n/2=m.1
Sm=[a1+a1+(m-1)d]m/2=n.2
联立1、2解得：
a1=(m^2+n^2+mn-m-n)/mn
d=-2(m+n)/mn
S(m+n)=[a1+a1+(m+n-1)d](m+n)/2
=-(m+n)设﹛an﹜是公差不为零的等差数列,
Sn是前n项的和,满足﹙a2﹚2＋﹙a3﹚2＝﹙a4﹚2＋﹙a5﹚2 ,S7＝7
(1) 求数列的通项公式以及前n项和sn
(2)试求所有的正整数m,使得[am×a(m＋1﹚]／a﹙m＋2﹚是数列Sn中的项

当数列的通项公式是有等差数列的通项乘以等比的通项公式时用错位

这个数列可以用裂项法求和,每一项可以写成两项之差,这儿就是分母有理化1/1+根号2＝根号2－11/根号2+根号3＝根号3－1/根号2.1/根号n+根号n+1 ＝根号n+1－根号n所以各项的和Sn=根号2－1+根号3－1/根号2+...+根号n+1－根号n=根号n+1-1

1/1*3=1/2*(1/1- 1/3)
1/3*5=1/2*(1/3- 1/5)
……
分母相差2的数都可以这样
推广：
1/1*4=1/3*(1/1- 1/4)
1/4*7=1/3*(1/4- 1/7)
……
分母相差固定的数都可以这样

分组求和法就是一个等差+等比。 错位相减法就是等差乘以等比。或者除以等比。 列项相消法就是通分以后可以写成常数/两数差的

1/[n(n 1)(n 2)]=1/2{1/[n(n 1)]-1/[(n 1)(n 2)]}
.这个公式应该能帮助你.
不懂可再追问,在线等待……

an=1/[(n+1)(n-1)]
=2/(n+1)(n-1)÷2
=[(n+1)-(n-1)]/(n+1)(n-1)÷2
=1/2(n-1)-1/2(n+1)
Sn=a1+a2+...+an
=a1+1/2-1/2(1+1)+...+1/2(n-1)-1/2(n+1)
=a1+1/2-1/2(n+1)

倒推法：
如：1/n(n+3)
1/n-1/(n+3)=3/n(n+3)
所以：1/n(n+3)=(1/3)*(1/n-1/(n+3)
注意有的题目在相互抵消时,反应可能缓慢,规律是前面剩几个被减项则后面就有几个减项
有些题目可能有点难
如：an=1/n(n+1)^3 则Sn

裂项相消法 最常见的就是an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Sn=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,最后只剩首尾两项）
=1-1/(n+1)
错位相减法
这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
倒序相加法
这个在证明等差数列求和公式时就应用了
Sn=1+2+..+n
Sn=n+n-1+.+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+...+(n+1)
=(n+1)*n
Sn=n(n+1)/2

裂项法求和
　　这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) 　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] 　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] 　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) 　　（5） n·n!=(n+1)!-n!

根据题意,可以猜测通项式为an=1/(1+2+...+n)=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/(n+1)]
则数列的前n项和为
Sn=a1+a2+...+an=2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+...+2[1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)

(1)an=(1/2)[1/(2n+1)-1/(2n+3)],
∴a1+a2+……+an
=(1/2)[1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/（2n+1)-1/(2n+3)]
=(1/2)[1/3-1/(2n+3)]
=n/(6n+9).
先把an裂项,求和时注意消去哪些项,留下哪些项.余者类推.
剩下的题目留给您练习.

举个最简单的例子,某一数列的通项公式an=1/[n(n+1)],求其前n项和Sn.
其实观察可知an=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1),实则上一项的减数等于下一项的被减数,所以两者相加就抵消掉了.因此Sn就是首项的被减数减去第n项的减数,即Sn=1/2-1/(n+1).
这就是所谓的裂项相消法,此外还有很多例子,比如分母是连续奇数或连续偶数相乘,或者是阶乘,分子是个常数（往往是1）的,都可以采用裂项相消法求解Sn.裂项相消法能达到化繁为简的效果.求Sn前先观察通项公式,如果符合这样特点的就可以用裂项相消法了.

http://wenku.baidu.com/view/35b96ce94afe04a1b071defe.html
http://wenku.baidu.com/view/f9594347a8956bec0975e3a3.html?from=rec&pos=1&weight=10&lastweight=7&count=5
http://wenku.baidu.com/view/3aa793f69e314332396893d2.html?from=rec&pos=0&weight=153&lastweight=35&count=5

裂项相消法:（分母可写成2个数相乘的数列求和）
eg:
1/2+1/6+1/12+……+1/n(n+1)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/n+1)
=1-1/n+1
错位相减法:（适用于是由一个等差数列和一个等比数列组成的数列求和）
eg:
1x2+2x4+3x8+……+nx2的n次方 ……………… 1式
1x4+2x8+3x16……+（n-1)x2的n次方+ nx2的n+1次方 ……………2式
将1式和2式相减,可得答案.

Sn=1/1*2+1/2*3+.+1/n(n+1)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)（中间相消,最后只剩首尾两项）=1-1/(n+1)错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了
Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)Sn=1-1/2^n倒序相加法这个在证明等差数列求和公式时就应用了

1、这个自然是观察
2、用来求通项,一般不是求和
3、一般求高阶数列和等比数列对应相乘的数列.这个高阶对于现在的你是等差数列,对于高三的你则可能是任何多项式.比如an=n * 2^n,即可运用错位相减,具体算法不懂问我,看资料是最好的,提高自学能力,我高中的数学知识九成以上都是自己学的,除了高二之后连上数学课都不听,自己做
4、这个一般是求等差数列
5、一般使用于分母是一个等差数列的连续两项或者三项之积的形式,比如1/n(n+1)可以裂为1/n-1/(n+1),然后相加,前后就抵消了.这是最简单的,还有比如分母是2的多少次方减去1的形式,现在不是你能接触到的

裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
例：在一数列中,an=1/[n(n+2)],求前n项和Sn
∵an=1/[n(n+2)]=[(1/n) -1/(n+2)]/2 (裂项相消法)
∴Sn=[1-(1/3)+(1/2)-(1/4)+(1/3)-(1/5)+…+(1/n) -1/(n+2)]/2
=(3/2)-(2n+3)/(n+1)(n+2).

依据是：等差数列中等距的两项乘积的倒数数列均可以用裂项相消法求和如：
1/n*(n+1)
1/(2n-1)*(2n+1)
1/an*a(n+1)
1/an*a(n+k)
如何裂开
1/an*a(n+k)
方法：逆求法：将数列的通项裂开
1/an-1/a(n+k)=(a(n+k)-an)/[an*a(n+k)]=)=(kd)/[an*a(n+k)]
所以：
1/[an*a(n+k)]=(1/kd)*[1/an-1/a(n+k)]
这样通项就可以裂开了,裂开后叠加法前后可产生相互抵消的作用,

原式=1-1/2+1/2-1/4+1/4-1/8+1/8-1/16+1/16-1/32=31/32

1/n(n+k)=((n+k)-n)/n(n+k)*1/k=1/k(1/n-1/(n+k))

裂项相消：形如a/[n(n+b)],可化为[1/n-1/(n+b)]a/b的形式
an=3/[n(n+2)] Tn=[1/n-1/(n+2)]3/2=[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+...+1/n-1/(n+2)]3/2
=[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]3/2=9/4-(6n+9)/2(n+1)(n+2)
或带阶乘的数列
an=nn!=(n+1)n!-n! Tn=1!+2!+3!+...+n!=2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+(n+1)!-n!=(n+1)!-1
错位相减：等差数列和等比数列相乘,先列Tn,再乘以公比得qTn,两式相减化出等比数列然后用公式
倒序求和：用的不多,在下也记不太清
逐差叠加：已知或以求得a1,a2-a1、a3-a2、a4-a3.an-a(n-1)的得数有规律,将上述式子叠加得an-a1=xxx,解出an
逐商叠乘：已知或以求得a1,a2/a1、a3/a2、a4/a3.an/a(n-1)的得数有规律,将上述式子叠乘得an/a1=xxx,解出an
分组求和：等差数列和等比数列相加,将等差数列和等比数列分别求和再相加
暂时只想到这些

1裂项相消法（如1/(1*2）+1/(2*3)+……+1/n(n+)=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1) 其实就是运用了公式：1/n(n+1）=1/n-1/(n+1) 这就是裂项）
2使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的解析式；
（2）根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决.
3举个例子 :{an} 通项为 an= 1/n - 1/(n+1) 求Sn !
此时就要用到累加法了 .
a1=1 - 1/2
a2=1/2 - 1/3
a3=1/3 - 1/4
a4=1/4 - 1/5
a(n-1)=1/(n-1) - 1/n
an=1/n - 1/(n+1)
你可以看出来了吧 ..Sn= a1+a2+a3+..+a(n-1)+an
就等于= 1-(1/2)+(1/2)-(1/3)+(1/3).-(1/n)+(1/n)-[1/(n+1)]
好约类 ..结果只剩下1- [1/(n+1)]了 !所以这就是 累加法的运用 !
4累乘法和累加法是相同的.比如等比数列通项公式的证明!
an/an-1=q,
an-1/an-2=q
an-2/an-1=q
.
a2/a1=q
左边同时相乘得：
（an/an-1）（an-1/an-2）（an-2/an-1）...（a2/a1）=qn-1
因此左边变为an/a1=qn-1

我猜这个式子只是你计算综合题的一部分.^^你所给的Bn,只能进行裂项,进行了裂项之后无法相消,因为只有两项.裂项相消是需要很多项一起来化简的.裂项的公式可以写为：a/[(n)(n+b)]=a/b[1/n-1/(n+b)]所以,具体到你的题目...

加一个再减一个不是什么数字做分母都可以的,那个是专门针对分母为2的时候一种特别的巧办法,不算是正统的解决方法

sundy_333 ,
待定系数法是求这类问题的通法,我再根你进一步,再深入一步,比如说 d/(ax^2+bx+c)如何裂项?d/(ax^2+bx+c)=d/[a(x-x1)(x-x2)]=d/a *{m/(x-x1) +n/(x-x2)} m,n具体是多少,要根据n(x-x1)+m(x-x2)=1来求.

裂项相消法是把一个数列的每一项裂为两项的差,即化An=F(n)-F(n+1)的形式,从而达到数列求和的目的,即得到Sn=F(1)-F(N+1)的形式.具体有等差型,无理型,指数型,对数型,三角函数型,阶乘和组合公式型,抽象型,混合型等等.
满意请采纳

比如通项an=(n 1)*C(M,n),数列求前n项和.M

裂项相消法:（分母可写成2个数相乘的数列求和）
eg:
1/2+1/6+1/12+……+1/n(n+1)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/n+1)
=1-1/n+1
错位相减法:（适用于是由一个等差数列和一个等比数列组成的数列求和）
eg:
1x2+2x4+3x8+……+nx2的n次方 ……………… 1式
1x4+2x8+3x16……+（n-1)x2的n次方+ nx2的n+1次方 ……………2式
将1式和2式相减,可得答案.