limx→∞ x[e^(1/x) - 1 ]x→∞

lim
x→∞ x[e^(1/x) - 1 ]
=(e^(1/x)-1)/(1/x)(罗必达法则)
=(1/x)'e^(1/x)/(1/x)'（上下求导）
=e^(1/x)
x->∞
e^(1/x)=e^0=1

记Y=1/x
于是原式=lim
Y→0 [e^Y - 1 ]/Y
Y趋于0时, e^Y 趋于1,于是在Y无限接近0的过程中,分子分母都趋于0,根据洛比达法则,此极限等于上下求导之后的极限.
于是原式=lim = 1
Y→0 e^Y

因为lim(1+1/x)^x=e (x→∞)
所以有e^(1/x)-1=1/x (x→∞)
故原式=x*1/x=1 (x→∞)