设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n＜m，I是n阶单位矩阵，若AB=I，证明B的列向量组线性无关．

肉肉狗2022-10-04 11:39:541条回答

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hl211 共回答了18个问题 | 采纳率100%: 解题思路：设B₁，B₂，…，B_n为B的列向量组，为证其线性无关，只需证：k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n=0当且仅当k₁=k₂=…=K_n=0．
证明：
设B₁，B₂，…，B_n为B的列向量组，
假设存在k₁，k₂，…，K_n，使得k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n=0，
则：A（k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n）=0，
即：k₁AB₁+k₂AB₂+…+k_nAB_n=0．①
因为AB=I，
所以：AB_j=

0
⋮
0
j
0
⋮
0=e_j，（j=1，…，n）
代入①可得，k₁e₁+k₂e₂+…+k_ne_n=0．
因为 e₁，e₂，…，e_n线性无关，
所以：k₁=k₂=…=K_n=0，
从而，B₁，B₂，…，B_n线性无关的．

点评：
本题考点：向量组线性无关的判定与证明．

考点点评：本题考查了向量组线性无关的判断与证明．证明采用了通常的思路，即证：k1B1+k2B2+…+knBn=0当且仅当k1=k2=…=Kn=0．; 1年前

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是 A,D 可逆吧
设H=
A B
C D
一方面有
E 0
-CA^-1 E
乘 H =
A B
0 D-CA^-1B
所以 |H| = |A||D-CA^-1B|.
另一方面 H 乘
E 0
-D^-1C E
=
A-BD^-1C B
0 D
所以 |H| = |D||A-BD^-1C|.
综上有 |A||D-CA^-1B|=|D||A-BD^-1C|

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解题思路：本题只要掌握满秩矩阵的定义，再进行讨论即可，务必分析清楚后再讨论，可以进行纸上画矩阵图分析m，n的不同大小取值来做此选择题．
∵AB为m阶方阵，且秩r（AB）≤min[r（A），r（B）]≤min（m，n），
∴当m＞n时，有：r（AB）≤n＜m，
即：AB不是满秩的，故有行列式：
.
AB.＝0，
故选：B．

点评：
本题考点：满秩矩阵．

考点点评：本题主要考查满秩矩阵，类似题型计算时，都可以选用这种比较法．属于基础题．

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(AB)'=B'A' 是成立的
距阵乘法A*B的前提是A的列数和B的行数相等.
假设A是3行2列,B是2行2列,则AB是3行2列,(AB)'是2行3列；
B'是2行2列,A’是2行3列,B'A’是2行3列.
怎么会不成立?

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解题思路：本题只要掌握满秩矩阵的定义，再进行讨论即可，务必分析清楚后再讨论，可以进行纸上画矩阵图分析m，n的不同大小取值来做此选择题．
∵AB为m阶方阵，且秩r（AB）≤min[r（A），r（B）]≤min（m，n），
∴当m＞n时，有：r（AB）≤n＜m，
即：AB不是满秩的，故有行列式：
.
AB.＝0，
故选：B．

点评：
本题考点：满秩矩阵．

考点点评：本题主要考查满秩矩阵，类似题型计算时，都可以选用这种比较法．属于基础题．

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解题思路：齐次线性方程组有没有非零解的判断，由其系数矩阵的秩来决定，这里就需要判断AB的秩．
因为AB矩阵为m×m方阵，所以未知数的个数为m个，
又因为：r（AB）≤r（A）≤n，
（1）当m＞n时，r（AB）≤r（A）≤n＜m，
即系数矩阵的秩小于未知数个数，所以方程组有非零解．
（2）当m＜n时，r（A）≤m＜n，而 r（AB）≤r（A）
所以不能判断矩阵AB的秩是否小于m或等于m，也就不能判断是否有非零解．
故应选D．

点评：
本题考点：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件．

考点点评：需要掌握矩阵乘积的秩与单个矩阵的秩的关系．

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反证法就行了
不妨设j,k列相关Bj=cBk
则Ejj=cEjk
Ejj=1
=>Ejk=1/c不等于0
矛盾
所以不存在j,k使线性相关

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|M| = |A|*
|B O|
|Z C|
|M| = |A|*|B|*|C| = 2(-1)3 = -6.

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2、设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,且m＜n,已知AB＝I,其中I为m阶单位矩阵,证明B的列向量组线性无 zz火麒麟1年前4: 一起zz 共回答了16个问题 | 采纳率100%

证明:首先有 r(B)>=r(AB)=r(I)=m
而B只有m列,所以 r(B)

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只能选 B 小于m

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因(B^T)C=0,故(C^T)B=0,A^TA=(B^TB,B^TC; C^TB,C^TC)=(B^TB,0; 0,C^TC),故det(A^TA)=det(B^TB)det(C^TC).
2.
对任意非零向量X=(x1,x2,...,xn),因b1,b2,…,bn是任意n个非零实数,所以Y=(a1x1,a2x2,...,anxn)非零.X^TBX=Y^TAY>0,故B正定.
A正定,所以存在正定矩阵S,使得A=SS,则T=S^{-1}正定.进而det(tA-B)=(detS)^2 det(tE-T B T)=(detS)^2 det(tE-T^T B T).B正定,T^T B T正定,故det(tA-B)=0的根都是正根.
5.f对应的矩阵为B=A^TA,其中A=(1,0,...,an; a_1,1,...,0; 0,a_2,1,...,0; ...; 0,0,...,a_{n-1},1).则f正定的充分必要条件是B可逆,即det B非零即可.

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刘老师,设A为n阶非奇异矩阵,B为n×m矩阵,试证：A与B之积的秩等于B的秩,即r(A... 刘老师,设A为n阶非奇异矩阵,B为n×m矩阵,试证：A与B之积的秩等于B的秩,即r(A... 刘老师,设A为n阶非奇异矩阵,B为n×m矩阵,试证：A与B之积的秩等于B的秩,即r(AB)＝r(B) p1p21年前1: 露水轻扬共回答了17个问题 | 采纳率94.1%

证明：A为n阶非奇异矩阵,则A是若干初等矩阵的乘积,于是AB相当于对B进行了若干次行初等变换,初等变换不改变矩阵的秩
所以r(AB)=r(B)

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设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,证明│E-AB│=│E-BA│ roye1年前1: hillwu593 共回答了16个问题 | 采纳率75%

考虑行列式
| En B |
| A Em|
用列变换,第二列减去第一列乘以B,得上式=|Em-AB|,
同样的,用行变换,第一行减第二行乘以B,上式又等于|En-BA|
于是Em-AB的行列式与En-BA的行列式相等

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证明设A为s×m矩阵,B为m×n矩阵,X为n维未知列向量,证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是 证明设A为s×m矩阵,B为m×n矩阵,X为n维未知列向量,证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是 AB与B有相同的秩,即r(AB)=r(B) 抗争到底0011年前1: sillymei 共回答了24个问题 | 采纳率91.7%

证明:必要性
因为ABX=0与BX=0同解
所以它们的基础解系所含向量的个数相同
所以 n-r(AB)=n-r(B)
即有 r(AB)=r(B).
充分性.
易知 BX=0 的解都是 ABX=0 的解
而BX=0的基础解系含n-r(B)个解向量
ABX=0的基础解系含n-r(AB)=n-r(B)个解向量
所以BX=0的基础解系是ABX=0的基础解系
所以ABX=0与BX=0同解.

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酸水共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

解题思路：假设B＝

b11	b12	…	b1m
b21	b22	…	b2m
…	…	…	…
bm1	bm2	…	bmm

，A＝

α1

α2

⋮

αm

，利用线性方程组性质即可证明．

假设B＝

b11b12…b1m
b21b22…b2m
…………
bm1bm2…bmm，A＝

α1
α2
⋮
αm，其中α_i（i=1，2，…，m）为A的行向量，
BA=

b11b12…b1m
b21b22…b2m
…………
bm1bm2…bmm

点评：
本题考点：线性方程组的相容性；可逆矩阵的性质．

考点点评：本题主要考查线性方程组的解的判断以及可逆矩阵的性质，属于基础题．

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解题思路：首先，根据矩阵乘法秩的性质，得到A和B的秩；然后，根据矩阵的秩与构成矩阵的向量组的秩相等，得到结论．
由于AB=E，因此r（A）≥r（AB）=n，r（B）≥r（AB）=n
而A为n×m矩阵，B为m×n矩阵
即A只有n行，B只有n列
∴r（A）≤n，r（B）≤n
∴r（A）=r（B）=n
故A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关
故①和④成立
故选：B

点评：
本题考点：矩阵的秩的性质；向量组线性相关的性质．

考点点评：此题考查矩阵秩的性质以及向量组的秩的定义，是基础知识点．

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解题思路：设B₁，B₂，…，B_n为B的列向量组，为证其线性无关，只需证：k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n=0当且仅当k₁=k₂=…=K_n=0．
证明：
设B₁，B₂，…，B_n为B的列向量组，
假设存在k₁，k₂，…，K_n，使得k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n=0，
则：A（k₁B₁+k₂B₂+…+k_nB_n）=0，
即：k₁AB₁+k₂AB₂+…+k_nAB_n=0．①
因为AB=I，
所以：AB_j=

0
⋮
0
j
0
⋮
0=e_j，（j=1，…，n）
代入①可得，k₁e₁+k₂e₂+…+k_ne_n=0．
因为 e₁，e₂，…，e_n线性无关，
所以：k₁=k₂=…=K_n=0，
从而，B₁，B₂，…，B_n线性无关的．

点评：
本题考点：向量组线性无关的判定与证明．

考点点评：本题考查了向量组线性无关的判断与证明．证明采用了通常的思路，即证：k1B1+k2B2+…+knBn=0当且仅当k1=k2=…=Kn=0．

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又因为r(BA)=n
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应该要让P可逆.
设A为n×m矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的矩阵B（下标n（n-m）,使得P=(A,B)可逆,且B‘A=0.
证明：考虑齐次线性方程组A'x=0,系数矩阵A'的秩是m,方程组有n个未知量,所以它的基础解系有n-m个向量,设b1,b2,...,b(n-m)是一个基础解系,记矩阵B=(b1,b2,...,b(n-m)),则A'B=0,转置后是B'A=0.
再证明P可逆,考虑方程组Pz=0,设z=
（x）
（y）
,则Pz=Ax+By=0,所以A'(Pz)=A'(Ax+By)=(A'A)x+(A'B)y=(A'A)x=0,A'A是m阶方阵,秩为m,所以可逆,所以x=0.同理,B'(Pz)=B'(Ax+By)=(B'A)x+(B'B)y=(B'B)y=0,B'B是n-m阶方阵,秩为n-m,所以可逆,所以y=0.所以方程组Pz=0只有零解,所以P可逆.

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