给定函数 f(x)= x 2 2(x-1)

（1） f(x)=
x 2
2(x-1) 的定义域为{x|x≠1}…（1分） （此处不写定义域，结果正确不扣分）
f′（x）=
x 2 -2x
2(x-1 ) 2 …（3分）
由f′（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
单调减区间为（0，1）和（1，2）…（5分）（答案写成（0，2）扣（1分）；不写区间形式扣1分）
（2）由已知可得2 S n = a n
-a 2n ，当n≥2时，2 S n-1 = a n-1
-a 2n-1
两式相减得（a _n +a _n-1 ）（a _n -a _n-1 +1）=0
∴a _n =-a _n-1 或a _n -a _n-1 =-1
当n=1时，2a ₁ =a ₁ -a ₁ ² 得a ₁ =-1，若a _n =-a _n-1 ，则a ₂ =1这与题设矛盾
∴a _n -a _n-1 =-1
∴a _n =-n…（8分）
于是，待证不等式即为
1
n+1 ＜ln
n+1
n ＜
1
n ．
为此，我们考虑证明不等式
1
x+1 ＜ln
x+1
x ＜
1
x ，x＞0
令1+
1
x =t．则t＞1，x=
1
t-1
再令g（t）=t-1-lnt，g′（t）=1-
1
t
由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增∴g（t）＞g（1）=0 于是t-1＞lnt
即
1
x ＞ln
x+1
x ，x＞0 　　　 ①
令h（t）=lnt-1+
1
t ，h′（t）=
1
t -
1
t 2 =
t-1
t 2 由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0
∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增∴h（t）＞h（1）=0于是lnt＞1-
1
t
即 ln
x+1
x ＞
1
x+1 ，x＞0　　 ②
由①、②可知
1
x ＞ln
x+1
x ＞
1
x+1 ，x＞0…（10分）
所以，
1
n+1 ＜ln
n+1
n ＜
1
n ，即 -
1
a n+1 ＜ln
n+1
n ＜-
1
a n …（11分）
（3）由（2）可知 b n =
1
n 则 T n =1+
1
2 +
1
3 +…+
1
n …（12分）
在
1
n+1 ＜ln
n+1
n ＜
1
n 中令n=1，2，3…..2010，2011并将各式相加得
1
2 +
1
3 +…+
1
2012 ＜ln
2
1 +ln
3
2 +…+ln
2012
2011 ＜1+
1
2 +
1
3 +…+
1
2011 …（13分）
即T ₂₀₁₂ -1＜ln2012＜T ₂₀₁₁ …14