在（x-1）（x2+ax+2）的运算结果中一次项x的系数为-2，则a=______．

f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]…（1分）
（1）当a=0时，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），…（2分）f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A （1，f （1）） 处的切线方程为y-3e=5e （x-1），
即5ex-y-2e=0…（4分）
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，
∴f （x） 在R上单调等价于 x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立…．（6分）
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a 的取值范围是[-2，2]，…（8分）
（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）
（3）当a＝
5
2时，f(x)＝(x2+
5
2x+2)ex，f′(x)＝ex(x2+
9
2x+
9
2)
…（10分）
令f'（x）=0，得x=-3，或x＝−
3
2
令f'（x）＞0Z，得x＜−3或x＞−
3
2，
令f'（x）＜0Z，得−3＜x＜−
3
2…（12分）
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x （-∞，-3） -3 (−3，−
3
2) −
3
2 (−
3
2，+∞)
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以，函数f（x）的极小值为f（−
3
2）=[1/2e−
3
2]…（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和恒成立问题，同时考查了计算能力、转化与划归的思想，属于综合题．

（Ⅰ）∵不等式g（x）＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}，
∴由韦达定理得-a=1+2，∴a=-3，（1分）
于是g（x）=x²-3x+2．
又f（x）=

x2−1，x≤−1或x≥1
1−x2，−1＜x＜1
当x≤-1或x≥1时，由f（x）≤g（x）得x²-1≤x²-3x+2，解得x≤1，
∴此时x的范围为x≤-1或x=1．（3分）
当-1＜x＜1时，由f（x）≤g（x）得1-x²≤x²-3x+2，解得x≤[1/2]或x≥1，
∴此时x的范围为-1＜x≤[1/2]． （5分）
综上知，不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x≤[1/2]或x=1}． （6分）
（Ⅱ）由h（x）=f（x）+g（x）+2，可得a=
−|x2−1|−x2−4
x=


−(1−x2)−x2−4
x＝−
5
x，x∈(0，1)

−(x2−1)−x2−4
x＝−(2x+
3
x)，x∈[1，2) （8分）
x∈（0，1），a=-[5/x]单调递增，且值域为（-∞，-5）； （10分）
x∈[1，2），k（x）=-（2x+

点评：
本题考点： 函数零点的判定定理；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查韦达定理的运用，考查解不等式，考查分离参数法的运用，考查函数的值域，属于中档题．

f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
（1）当a=0时，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），
f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为y-3e=5e（x-1），
即5ex-y-2e=0
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，，
考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，
∴f（x）在R上单调等价x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2]，
（3）当a=-[5/2]时，f（x）=（x²-[5/2]x+2）e^x，f'（x）=e^x（x²-[1/2]x-[1/2]），
令f'（x）=0，得x=-[1/2]，或x=1，
令f'（x）＞0，得x＜-[1/2]，或x＞1，
令f'（x）＜0，得-[1/2]＜x＜1
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

X （-∞，-[1/2]） -[1/2] （-[1/2]，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增所以函数f（x）的极小值为f（1）=
1
2e

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和恒成立问题，同时考查了计算能力、转化与划归的思想，属于综合题．

因为a²-5a-3≥3，所以a≥6或a≤-1．
所以p为真命题时a≥6或a≤-1…（4分）
又因为不等式x²+ax+2＜0有解，所以△=a²-8＞0
所以a＞2
2或a＜−2
2
所以q为假命题时，−2
2≤a≤2
2…（8分）
所以p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为−2
2≤a≤−1…（12分）

点评：
本题考点： 一元二次不等式与一元二次方程；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．

考点点评： 本题重点考查命题真假的运用，考查不等式的解法，解题的关键是求出p为真命题，q为假命题时a的取值范围，属于基础题．

（1）∵f（x）=x²+ax+2，函数y=f（x）-[11/2]x-[3/2]，
∴y=x²+ax+2-[11/2]x-[3/2]=x²-（[11/2]-a）x+[1/2]，
∴sinα+sin（α+[π/3]）=[11/2]-a，sinα•sin（α+[π/3]）=[1/2]，
∵sinα•sin（α+[π/3]）=[1/2][cos[π/3]-cos（2α+[π/3]）]=[1/2]，
∴cos（2α+[π/3]）=−
1
2，
∵α∈（0，[π/2]）．
∴2α+[π/3]∈（[π/3]，[4π/3]），
∴2α+[π/3]=[2π/3]，
∴α=[π/6]，
∴sinα+sin（α+[π/3]）=sin[π/6]+sin（[π/6]+[π/3]）=[3/2]=

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；两角和与差的正弦函数．

考点点评： 本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用以及三角函数的关系，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．

f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
（1）当a=0时，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），
f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程为y-3e=5e（x-1），
即5ex-y-2e=0
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，，
考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，
∴f（x）在R上单调等价x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范围是[-2，2]，
（3）当a=-[5/2]时，f（x）=（x²-[5/2]x+2）e^x，f'（x）=e^x（x²-[1/2]x-[1/2]），
令f'（x）=0，得x=-[1/2]，或x=1，
令f'（x）＞0，得x＜-[1/2]，或x＞1，
令f'（x）＜0，得-[1/2]＜x＜1
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

X （-∞，-[1/2]） -[1/2] （-[1/2]，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增所以函数f（x）的极小值为f（1）=
1
2e

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值和恒成立问题，同时考查了计算能力、转化与划归的思想，属于综合题．