（2013•富宁县模拟）甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：

解题思路：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知道∠DAC=30°，∠DBC=60°，根据∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°得到∠ACB=∠CAB，从而得到BC=AB=20米，然后在直角三角形CBD中利用解直角三角形求得CD的长即可；

如图，作CD⊥于AB于D
由题意可知：AB=20米，∠CAD=30°，∠CBD=60°
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°
∴∠ACB=∠CAB
∴BC=AB=20米，
在Rt△CBD中，CD=CB•sin60°=20×

3
2=10
3≈17.3米，
答：这条河的宽度约为17.3米．

点评：
本题考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．

考点点评： 此题主要考查了解直角三角形-方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的数量关系列出方程解决问题．

解题思路：（1）设该厂生产A型挖掘机x台，则生产B型挖掘机100-x台，由题意可得：2240≤20x+24（100-x）≤2250，求解即得；
（2）计算出各种生产方案所获得的利润即得最大利润方案．

（x）设生产A型轿车x台，则生产B型轿车（x66-x）台，
由题意得

l6x+l4(x66−x)≥ll46
l6x+l4(x66−x)≤llx6，
解得：37.x≤x≤46，
∵x为正整数，
∴x可取3二，3k，46，
∴共有3种生产方案：①A型3二台，B型6l台；②A型3k台，B型6x台；③A型46台，B型66台．

（l）设获得利润为W万元，
由题意得W=xx+6（x66-x）=-x+666，
∵a=-x＜6，W随x的增大而减小，
∴当x=3二时，W有最大值，此时W=-x×3二+666=x6l，
∴当生产方案为：A型3二台，B型6l台时，可获得最大利润，最大利润为x6l万元．

点评：
本题考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．

考点点评： 此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组解法，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．

解题思路：（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可；
（2）①根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出PN，整理并根据二次函数的最值问题解答；
②根据等腰三角形三线合一的性质可知点P在BC的垂直平分线上，再根据点B、C的坐标可知BC的垂直平分线也是∠BOC的平分线，然后根据点P的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可．

（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，
所以，点B、C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），（2分）
∴

−9+3b+c＝0
c＝3，
解得

b＝2
c＝3，
∴所求函数关系式为y=-x²+2x+3；（4分）

（2）①∵点P（m，n）在抛物线y=-x²+2x+3上，且PN⊥x轴，
∴可设点P（m，-m²+2m+3），
同理可设点N（m，-m+3），（5分）
∴PN=PM-NM=（-m²+2m+3）-（-m+3）=-m²+3m=-（m-[3/2]）²+[9/4]，（8分）
∴当m=[3/2]时，线段PN的长度的最大值为[9/4]；（9分）
②由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，又由（1）知，OB=OC，
∴BC的垂直平分线同时也是∠BOC的平分线，（10分）
∴m=-m²+2m+3，
整理得，m²-m-3=0，
解得m₁=
1+
13
2，m₂=
1−
13
2（不合题意舍去）．
∴点P的横坐标为

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要有直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰三角形三线合一的性质，（2）中根据点B、C的坐标，OB与OC恰好相等是解题关键．

解题思路：（1）首先根据题意画出树状图，根据树状图即可求得所有可能得到的P点坐标；
（2）由（1）中的树状图，利用点与圆的位置关系，即可求得P点落在圆内部的情况，再利用概率公式即可求得答案．

（1）画树状图得：…（3分）所有可能的P点坐标为：（1，1），（1，2），（1，-1），（2，1），（2，2），（2，-1），（-1，1，），（-1，2），（-1，-1）；…（6分）（2）∵⊙O的半径为2，∴P点落在圆内...

点评：
本题考点： 列表法与树状图法．

考点点评： 此题考查了列表法与树状图法求概率的知识与点与圆的位置关系．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

解题思路：（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，根据对称轴解析式列出关于a、b、c的方程组，求解即可；
（2）根据抛物线解析式求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出AC的长，然后求出OD，可得点D在抛物线对称轴上，根据线段垂直平分线上的性质可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根据等边对等角可得∠PDC=∠ACD，从而得到∠QDC=∠ACD，再根据内错角相等，两直线平行可得PQ∥AC，再根据点D在对称轴上判断出DQ是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DQ=[1/2]AC，再求出AP，然后根据时间=路程÷速度求出点P运动的时间t，根据勾股定理求出BC，然后求出CQ，根据速度=路程÷时间，计算即可求出点Q的速度．

（1）∵图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4，
∴

196a+14b+c＝0
c＝−8
−
b
2a＝4，
解得

a＝
2
21
b＝−
16
21
c＝−8，
∴抛物线的解析式为y=[2/21]x²-[16/21]x-8；

（2）存在直线CD垂直平分PQ．
理由如下：令y=0，则[2/21]x²-[16/21]x-8=0，
整理得，x²-8x-84=0，
解得x₁=-6，x₂=14（为点B坐标），
∴点A的坐标为（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=
AO2+CO2=
62+82=10，
∴OD=AD-AO=AC-AO=10-6=4，
∴点D在二次函数的对称轴上，
∵直线CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
又∵AD=AC，
∴∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DQ是△ABC的中位线，
∴DQ=[1/2]AC=[1/2]×10=5，
∴AP=AD-PD=AC-DQ=10-5=5，
∵动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴t=5÷1=5，
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分，
此时，在Rt△BOC中，BC=
CO2+BO2=
82+142=2
65，
∵DQ是△ABC的中位线，
∴CQ=[1/2]BC=[1/2]×2
65=
65，
∴点Q的运动速度为每秒

65
5单位长度．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理，等边对等角的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，（2）求出DQ∥AC是解题的关键．

解题思路：（1）由Rt△ABC≌Rt△DBE推出BC=BE，连接BF，根据HL证Rt△BCF≌Rt△BEF，推出CF=EF即可；
（2）画出图形，此时AF+EF≠DE，而是AF-EF=DE；
（3）（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE，连接BF，根据HL证Rt△BEF≌Rt△BCF，推出EF=FC，由AF=AC+FC可推出AF=DE+EF．

（1）证明：由Rt△ABC≌Rt△DBE知：BC=BE．
连接BF．
∵在Rt△BCF和Rt△BEF中


BC＝BE
BF＝BF，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴CF=EF，
∵AC=DE，CF+FA=CA，
∴AF+EF=DE；

（2）如图2所示，
此时AF+EF≠DE；

（3）（1）中猜想结论不成立，关系式是AF=EF+DE．理由是：
连接BF．
在Rt△BEF和Rt△BCF中


BE＝BC
BF＝BF，
∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL），
∴EF=FC，
∵AC=DE，
由AF=AC+FC知：AF=DE+EF．

点评：
本题考点： 几何变换综合题．

考点点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，证明过程类似．

解题思路：（1）列表得到所有等可能的情况数，找出两个都是黄球的个数，即可求出所求的概率；
（2）设放进去的有n个球，则另一种球有（n+1）个，根据题意列出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，即可得到红球与黄球的个数．

（1）列表如下：

红 黄 黄 黄
红 --- （黄，红） （黄，红） （黄，红）
黄 （红，黄） --- （黄，黄） （黄，黄）
黄 （红，黄） （黄，黄） --- （黄，黄）
黄 （红，黄） （黄，黄） （黄，黄） ---所有等可能的情况数有12种，其中两个都是黄球的有6种，
则P两次都是黄球=[6/12]=[1/2]；

（2）设放进去n个球，则另一种球有（n+1）个，
根据题意得：黄球概率为[n+3/4+2n+1]或[n+4/4+2n+1]，
当[n+3/4+2n+1]=[3/5]时，n=0；当[n+4/4+2n+1]=[3/5]时，n=5，
则小明放入该口袋的红球有5个，黄球有6个．

点评：
本题考点： 列表法与树状图法．

考点点评： 此题考查了树状图与列表法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．