用柯西不等式证明:（1）设a.b.c∈R+.求证bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c （2）证明(x^2+4/y^2

ses10292022-10-04 11:39:541条回答

用柯西不等式证明:（1）设a.b.c∈R+.求证bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c （2）证明(x^2+4/y^2)(y^2+1/x^2)≥9

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天池狼共回答了25个问题 | 采纳率96%: 第一问毋须柯西不等式,一看这种连乘对称的很容易想到基本不等式
a,b,c∈R+
由基本不等式x^2+y^2≥2xy
(bc/2a)+(ac/2b)≥2√[(bc/2a)(ac/2b)]=2√(abc^2/4ab)=c
(bc/2a)+(ab/2c)≥2√[(bc/2a)(ab/2c)]=2√(acb^2/4ac)=b
(ac/2b)+(ab/2c)≥2√[(ac/2b)(ab/2c)]=2√(bca^2/4bc)=a
三式相加即得:(bc/a)+(ac/b)+(ab/c)≥a+b+c
第二问倒是柯西不等式的典型应用
解答如下：
(x^2+4/y^2)(y^2+1/x^2)=（x^2+4/y^2)(1/x^2+y^2) 注：这是柯西不等式应用时很经典的变换!
≥（x*（1/x）+（2/y）*y)^2=(1+2)^2=9,得证.; 1年前

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所以2(a+b+c)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>=9
所以2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>=9/(a+b+c)

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等价于
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（a^2+b^2+c^2）（b^2+c^2+a^2）>=(ab+bc+ca)^2.
这不就结了.轮换对称那是这个式子的基本面貌

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证明：
1/x+4/y+9/z=(x+y+z)/x +4(x+y+z)/y +9(x+y+z)/z
=14+(y/x + 4x/y) +(z/x + 9x/z) +(4z/y + 9y/z)
因为x>0,y>0,z>0
所以
原式》14+2√（y/x * 4x/y） + 2√(z/x *9x/z)+ 2√(4z/y *9y/z)=14+4+6+12=36

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方法一、直接用基本不等式：对于正数x、y,有：x+y≥2√xy,则：
(ab+cd)(ac+bd)≥2√(abcd)×2√(acbd)=4abcd
方法二、由柯西不等式,得：
(ab+cd)(ac+bd)
≥[√ab×√ac+√cd×√bd]²
=[(√bc)(a+d)]²
=bc(a+d)²
≥bc×(2√ad)²
=4abcd

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证明：
∵(x+y)²=x²+2xy+y²=(y²+xy)+(x²+xy)
∴由题设及柯西不等式,可得：
[(y²+xy)+(x²+xy)]×{[x²/(y²+xy)]+[y²/(x²+xy)]}≥(x+y)²
两边同除以（x+y)²,可得：
[x²/(y²+xy)]+[y²/(x²+xy)]≥1

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先两边同平方把能消去的消去,剩下的就是2√[(x1^2+x2^2)(y1^2+y2^2)]≥2（x1y1+x2y2)
再把2约去,剩下的两边再同平方就是(x1^2+x2^2)(y1^2+y2^2) ≥（x1y1+x2y2)^2就是柯西的基本形式

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也许可以待定系数：
1/sinx+4/cosx=1/2sinx+1/2sinx+ksin^2x+2/cosx+2/cosx+kcos^2x-k
用均值.当1/2sinx=ksin^2x 2/cosx=kcos^2x
时取到最小值此时 sin^3x=1/2k cos^3x=2/k
即(1/2k)^(2/3)+(2/k)^(2/3)=1
k=.
这样做吧.

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