无界数列一定没有极限吗?我是华科大的新生,最近学微积分,看到书上的一个结论,无界数列必发散.我是这么想的,无界数列可能有

用反证法：假设an*bn为有界数列,则由定义,存在M>0,对于任意n>0,
|an*bn|+∞（n->+∞),知存在n2>0,当m>n2时|bm|>√M;…………（1）
而由an是无界数列,知存在n1>n2,使得|an1|>√M;…………（2）
在(1)中取m=n1,(1)*(2):
|an1|*|bn1|>M,这与假设矛盾,故an*bn必为无界数列.

无穷数列是说数列的项数是无限的,如an=n；
无界数列是说数列是有界的,如an=1/n,有下界0,上界1.

比如y=x乘x的正弦,就没有极限,但它是无界的

定义：若存在两个数A,B(设A0)都是 的上界．这表明上界并不是惟一的,下界也是如此．
(2)对于数列 ,如果存在正整数N,当n>N时,总有 ,我们就说数列 往后有界．要注意,往后有界一定是有界的,这是因为在N项之前只有有限多个数 在这有限个数中必有最大的数和最小的数,设 ,那么min(A,α)和max(B,β)就是整个数列 的下界和上界．
(3)有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M,使得 ,就称 是有界数列．或者也可以这么说,若存在原点O的一个M邻域O(O,M),使得所有 ,就称 是有界数列,这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．
无界数列相反
比如An=n就是无界数列,An=1/n是有界数列.

用反证法证
证明：假设数列{ xn}有极限A,对于任意小的正数ε>0,存在正数N,当n>N时,恒有|xn-A|

an和 bn都是无界数列,数列an *bn未必是无界数列.
如：an:0,1,0,2,0,3,0,4,.
bn:1,0,2,0,3,0,4,.
an*bn=0有界了!

1、
用反证法：假设an*bn为有界数列,则由定义,存在M>0,对于任意n>0,
|an*bn|+∞（n->+∞),知存在n2>0,当m>n2时|bm|>√M;…………（1）
而由an是无界数列,知存在n1>n2,使得|an1|>√M;…………（2）
在(1)中取m=n1,(1)*(2):
|an1|*|bn1|>M,这与假设矛盾,故an*bn必为无界数列.
2、
不一定.反例：
n为偶数时an=n,n为奇数时an=1/n；
n为偶数时bn=1/n,n为奇数时bn=n；
则an,bn均为无界数列,但an·bn=1为常数数列,有界