斐波拉契数列通项公式和一类问题的解法

设常数r,s 　　
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 　　
则r+s=1, -rs=1 　　
n≥3时,
有 　　
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 　　
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] 　　
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] 　　
…… 　　
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 　　
将以上n-2个式子相乘,
得： 　　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] 　　
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1 　　
上式可化简得： 　　
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 　　
那么： 　　
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2) 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3) 　　
…… 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1) 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1) 　　
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和） 　　
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s) 　　
=(s^n - r^n)/(s-r) 　　
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2 　　
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

http://baike.baidu.com/view/1074762.htm
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通项公式可以在网上搜到，解法就是先写出它的递推公式，即相邻几项的关系，再求出它的通项公式。