求AD1与面BB1D1D所称的角的大小

新四棱柱的表面是四个正方形，与两个矩形（长为
2，宽为1）故全面积为(4+2
2)a2．
故答案为：(4+2
2)a2

点评：
本题考点： ["棱柱、棱锥、棱台的体积"]

考点点评： 本题考查棱柱的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．

连接A₁C₁，B₁D₁，交于点O，连接OC₁，BO，则OC₁⊥平面BB₁D₁D
∴∠OBC₁为BC₁与平面BB₁D₁D所成的角
∵OC₁=[1/2]BC₁，
∴∠OBC₁=30°
即BC₁与平面BB₁D₁D所成的角是30°
故选D．

点评：
本题考点： 用空间向量求直线与平面的夹角．

考点点评： 本题考查空间角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．

以D点为坐标原点，以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2）
∴

BC1=（-2，0，2），

AC=（-2，2，0），

AC且为平面BB₁D₁D的一个法向量．
∴cos＜

BC1，

AC＞═
4
2
2×2
2＝
1
2．
∴BC₁与平面BB₁D₁D所成角为：30°
故答案为：30°．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面之间所成角，此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．

设CC₁中点E₁，
则EE₁∥AC．
则EP与直线AC的夹角等于EP与直线EE₁的夹角，
∵EE₁⊥平面DBB₁D₁，
∴过E与EE₁成等角的直线与DBB₁D₁所在平面的交点集为圆，
∵DBB₁D₁是长方形，不是正方形，
∴P的轨迹是圆或圆的一部分．
故选A．

点评：
本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题考查轨迹方程的求法，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，连接BO₁，易证C₁O₁⊥平面BB₁D₁D．
所以∠C₁BO₁为BC₁与对角面BB₁D₁D所成的角，
于是sin∠C₁BO₁=
2
2
5．
故选C．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角．

考点点评： 考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题．

新四棱柱的表面是四个正方形，与两个矩形（长为
2，宽为1）故全面积为(4+2
2)a2．
故答案为：(4+2
2)a2

点评：
本题考点： ["棱柱、棱锥、棱台的体积"]

考点点评： 本题考查棱柱的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．

（1）证明：取B₁D₁的中点E，连接C₁E，OA，则A，O，C共线，且C₁E=OA，--（1分）
∵BCD-B₁C₁D₁为三棱柱，
∴平面BCD∥平面B₁C₁D₁，
故C₁E∥OA，----（3分）
∴C₁EAO为平行四边形，
从而C₁O∥EA．-----------（5分）
又∵C₁O⊄平面AB₁D₁，EA⊂平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．----------（7分）
（2）证明：∵∠ABC=120°，AB=2，AD=4，
∴BD＝
4+16−2×2×4cos600＝2
3，
∴AD²=16=AD²+BD²，∠ABD=[π/2]，
即BD⊥AD，----------（10分）
又BB₁⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，BB₁⊥BD，
在三棱柱BCD-B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁，则BD⊥DD₁，
而DD₁∩AD=D，
∴BD⊥平面ADD₁，-------（12分）
又BD∥B₁D₁，得B₁D₁⊥平面ADD₁，
而B₁D₁⊂平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面ADD₁．--------（14分）

点评：
本题考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查平面与平面垂直的判定与直线与平面平行的判定，着重考查面面垂直与线面平行的判定定理的应用，注意使用定理的严谨性，属于难题．

因为几何体为正方体，
所以BC₁∥AD₁，
所以l直线BC₁所成的角等于角A₁D₁A=[π/4]，同理角A₁AD₁=[π/4]；
又因为直线A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥BB₁，
所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
所以角A₁D₁B₁是A₁D₁与平面BB₁D₁D所成的角，为45°，
所以过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A₁在空间作直线l，使l与平面BB₁D₁D和直线BC₁所成的角都等于[π/4]，则这样的直线l是直线A₁D₁共有1条；
故选A．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角．

考点点评： 本题开考查了线线角和线面角的判断，根据是将空间角转化为平面角解答，体现了转化的思想．

由题意知，MN⊥平面BB₁D₁D，
则MN在底面ABCD上的射影是与对角线AC平行的直线，
故当动点P在对角线BD₁上从点B向D₁运动时，x变大y变大，直到P为BD₁的中点时，y最大为AC；
然后x变小y变小，直到y变为0，
因底面ABCD为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样．
故答案为：②．

点评：
本题考点： 函数的图象与图象变化．

考点点评： 本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力．

连接A₁C₁交B₁D₁于点O，连接BO
由AB=BC=2，可得A₁B₁C₁D₁为正方形即CO₁⊥B₁D₁
由长方体的性质可知BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁，从而有OC₁⊥BB₁，且BB₁∩B₁D₁=B₁
∴OC₁⊥平面BB₁D₁D
则∠C₁BO为则BC₁与平面BB₁D₁D所成角
在Rt△BOC₁中，OC1＝
2，BC1＝
5 OB＝
3
∴cos∠OBC1＝
OB
BC1＝

3

5＝

15
5
故选C．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角．

考点点评： 本题以长方体为基本模型，考查了直线与平面所成角的秋季解，解决本题的关键是熟练根据长方体的性质求出已知面的垂线，进而找出线面角，然后在直角三角形中求解角．

以D点为坐标原点，以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C₁（0，2，1）
∴

BC1=（-2，0，1），

AC=（-2，2，0），

AC且为平面BB₁D₁D的一个法向量．
∴cos＜

BC1，

AC＞═
4

5•
8=

10
5．
∴BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

10
5
故答案为D．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角．

考点点评： 此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．