各边长度均为整数的不得边三角形的周长=12这样的三角形有几个?

（1）证明：∵点A₁，D₁分别是AB、AD的中点，
∴A₁D₁是△ABD的中位线
∴A₁D₁∥BD，A₁D₁=[1/2]BD，
同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁=[1/2]BD
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁=[1/2]BD
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，
∴A₁B₁⊥A₁D₁即∠B₁A₁D₁=90°
∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形；

（2）由三角形的中位线的性质知，B₁C₁=[1/2]BD=4，B₁A₁=[1/2]AC=3，
得：四边形A₁B₁C₁D₁的面积为12；四边形A₂B₂C₂D₂的面积为6；

（3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形A_nB_nC_nD_n的面积为24×
1
2n；

（4）方法一：由（1）得矩形A₁B₁C₁D₁的长为4，宽为3．
∵矩形A₅B₅C₅D₅∽矩形A₁B₁C₁D₁
∴可设矩形A₅B₅C₅D₅的长为4x，宽为3x，则4x•3x＝
1
25×24，
解得x＝
1
4
∴4x＝1，3x＝
3
4
∴矩形A₅B₅C₅D₅的周长=2•(1+
3
4)＝
7
2
方法二：矩形A₅B₅C₅D₅的面积/矩形A₁B₁C₁D₁的面积
=（矩形A₅B₅C₅D₅的周长）²/（矩形A₁B₁C₁D₁的周长）²
即[3/4]：12=（矩形A₅B₅C₅D₅的周长）²：14²
∴矩形A₅B₅C₅D₅的周长=

3
4×
1
12×142＝
7
2．

点评：
本题考点： 矩形的判定；三角形中位线定理．

考点点评： 本题利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方求解．

连接BD，ED，BG，则△EAD、△ADB同高，
所以面积的比等于底的比，即，
S△EAD=[EA/AB]S△ABD=2S△ABD，
同理S△EAH=[AH/AD]S△EAD=6S△ABD，
所以S△EAH+S△FCG=6（S△ABD+S△BCD）=6S四边形ABCD=6×5=30（平方厘米）；
连接AF，AC，HC可得：
S△EFB=6S△ABC，S△DHG=6S△ACD，
S△EFB+S△DHG=6（S△ABC+S△ACD）=6×5=30（平方厘米），
所以四边形EFGH的面积=30+30+5=65（平方厘米）；
答：四边形EFGH的面积是65平方厘米．

点评：
本题考点： 相似三角形的性质（份数、比例）．

考点点评： 本题运用两个三角形高相等，面积的比等于它们底边的比进行解答即可．

设IJ=x，则阴影部分的面积为
S_△JKM+S_△LKN+S_△IMN=[1/2]×x×[1/2]x+[1/2]×x×[1/2]x+[1/2]×[1/2]x×[1/2]x=10，
整理得出：[5/8]x²=10，
解得x₁=4，x₂=-4（不合题意舍去），
所以EJ²+EI²=IJ²=4²，
∵EJ=EI，
∴2EJ²=4²，
解得：EJ=2
2，
故EF=4
2，
∵BE=BF，BE²+BF²=EF²，
∴2BE²=（4
2）²，
∴BE=4，
故AB=8．
故选：C．

点评：
本题考点： 正方形的性质；等腰直角三角形．

考点点评： 本题考查了中位线定理和正方形四边相等且对角线垂直的灵活应用，根据阴影部分面积计算最小正方形的边长是解题的关键．

设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．∵a+b+c=30，a+b＞c∴10＜c＜15∵c为整数∴c为11，12，13，14∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；②当c为13时，有4个...

点评：
本题考点： 三角形三边关系．

考点点评： 此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．

设三角形各边需火柴杆的根数为x、y、3x，
根据题意得，

x+y+3x＝100①
x≤y②
y≤3x③
x+y＞3x④，
由①得y=100-4x，代入②得，x≤100-4x，
解得x≤20，
代入③得，100-4x≤3x，
解得x≥14[2/7]，
代入④得，x+100-4x＞3x，
解得x＜16[2/3]，
所以，14[2/7]≤x＜16[2/3]，
∵x为正整数，
∴x=15，16，
∴满足条件的三角形有两组，需用火柴的根数分别是15，40，45或16，36，48．

点评：
本题考点： 三角形三边关系．

考点点评： 本题考查了三角形的三边关系，三角形的周长，根据三角形的任意两边之和大于第三边列出不等式组是解题的关键．

（1）∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，
∴DE=[1/2]AC，DF=[1/2]BC，EF=[1/2]AB，
∵等边三角形ABC，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF与△ABC相似，相似比是[1/2]，
（2）S_△ABC=[1/2]×a×

3
2a=

3
4a²，
S_△DEF=[1/2]×[1/2]a×

3
4a²=

3
16a²．
（3）两个三角形的面积比为1：4，边长之比为1：2，
三角形的面积比等于边长之比的平方．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．

（1）如图1，连接AC、BD．
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=[1/2]AC，且EF∥AC．
同理，HG=[1/2]AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EH∥FG，EH=FG=[1/2]BD．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴S_{四边形EFGH}=EF•EH=[1/2]BD•[1/2]AC=[1/2]S_{正方形ABCD}．
∴S_{四边形EFGH}：S_{正方形ABCD}=1：2．即正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是1：2；
（2）如图2，依次连接菱形的各边中点．
∵点E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=[1/2]AC，且EF∥AC．
同理，HG=[1/2]AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EH∥FG，EH=FG=[1/2]BD．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴S_{四边形EFGH}=EF•EH=[1/2]BD•[1/2]AC=[1/2]S_{正方形ABCD}．
同理，依次连接矩形和平行四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1：2．
（3）由（2）得，对于任意四边形，依次连接四边形的各边中点，所得四边形与原四边形的面积比是1：2．

点评：
本题考点： 中点四边形．

考点点评： 本题考查了中点四边形．解答该时，利用了三角形中位线定理，菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及矩形的判定与性质．