求伯努利不等式的内容及说明!

数学归纳法
n=1时1+x1>=1+x1
假设n=k-1时成立,
n=k时只须证(1+x1+……+xk-1)(1+xk)>1+x1+……+xk-1+xk,
即证1+x1+……+xk-1+xk+xk(x1+x2+……+xk-1)>1+x2+……+xk
也就是xk(x1+x2+……+xk-1)>0
因x1,x2,……,x(k-1)同号,所以最后一个不等式成立
从而原不等式成立.

这个不等式的条件是：xi全大于0或xi全在-1到0之间 i=1,2.n
换句话说,在xi大大于等于-1的前提下所有变量必须同号
没问题的

基本概念　　数学中的伯努利不等式是说：对任意整数n≥0,和任意实数x>-1,
　　有 (1+x)^n≥1+nx 成立；
　　如果n≥0是偶数,则不等式对任意实数x成立.
　　可以看到在n = 0,1,或x = 0时等号成立,而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1,x≠0,有
　　严格不等式：
　　(1+x)^n>1+nx.
　　伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤.
　　伯努利不等式的一般式为
　　(1+x1+x2+x3···+xn)< =(1+x1)(1+x2)(1+x3)···(1+xn) 当且仅当n=1时等号成立
　　注：x后的字母或数字为下标
编辑本段证明
　　设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.
　　证明:
　　用数学归纳法:
　　当n=1,上个式子成立,
　　设对n-1,有:
　　(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,
　　则
　　(1+x)^n
　　=(1+x)^(n-1)(1+x)
　　>=[1+(n-1)x](1+x)
　　=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2
　　>=1+nx
　　就是对一切的自然数,当
　　x>=-1,有
　　(1+x)^n>=1+nx
　　下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：
　　若r ≤0或r ≥ 1,有(1+x)^r ≥ 1 + rx
　　若0 ≤ r ≤ 1,有(1+x)^r ≤ 1 + rx
　　这个不等式可以直接通过微分进行证明,方法如下：
　　如果r=0,1,则结论是显然的
　　如果r≠0,1,作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx),那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r,则f'(x)=0 x=0;
　　下面分情况讨论：
　　1.0 < r < 1,则对于x > 0,f'(x) < 0；对于 − 1 < x < 0,f'(x) > 0.严格递增,因此f(x)在x = 0处取最大值0,故得(1+x)^r ≤ 1+rx.
　　2.r < 0或r > 1,则对于x > 0,f'(x) > 0；对于 − 1 < x < 0,f'(x) < 0.严格递减,因此f(x)在x = 0处取最小值0,故得(1+x)^r ≥ 1+rx
　　证毕

离散的情形是(1+x)^n>=1+nx,对于任意正整数n以及实数x>-1成立,等号成立当且仅当n=1或x=0;
用数学归纳法证明：n=1时,结论显然成立.先假设结论对n-1>=1情形成立,即有(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x,则有(1+x)^n=(1+x)^(n-1)*(1+x)>=(1+(n-1)x)(1+x)=1+nx+(n-1)x^2>=1+nx,等号成立当且仅当x=0（此时n>=2）.由数学归纳法原理得结论.
连续情形为 1.a>1或a=1+ax,等号成立当且仅当x=0;
2.0