海伦定理证明?三角形面积与三边的关系

用海伦公式很麻烦,需要解3次方程
用余弦定理
a=17 b=12
100=0.5*17*12*sinC
sinC=0.98
cosC=0.197
c^2=17^2+12^2-2*17*12*cosC=352.624
c=18.778
2、a=3.9 b=5.6
10=0.5*3.9*5.6*sinC
sinC=0.916
cosC=0.402
c^2=3.9^2+5.6^2-2*3.9*5.6*cosC=29.022
c=5.387
3、周长一定时正三角形的面积最大
三边的长=100/3

用余玄定理比较好.
a^2=b^2+c^2-2bccosA 把cosA求出来,然后算sinA
面积是S=(bcsinA)/2

海伦公式:三角形三边为a,b,c.
其面积S=根号 其中p=(a+b+c)/2.
答:分5步：
（1）用余弦定理求出cosA,
（2）利用cosA与sinA的平方关系,求出sinA,
（3）S=(bc sinA)/2,平方后再化简,
（4）对海伦公式反向分析:先平方,将p=（a+b+c)/2代入化简,
（5）将（3）与（4）两步的结果比较即可.

海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表.
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：
S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：
s=frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案.
[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为
cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有
sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为
S = frac{1}{2}ab sin(C)
= frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出.

海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积.但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表.
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：
S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：
s=frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式.比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案.
[编辑]证明
与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则馀弦定理为
cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有
sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为
S = frac{1}{2}ab sin(C)
= frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出

如果不是直角三角型呢?比如3边分别为3 9 7 你这三个数字正好符合勾股定理,说明这个三角形是直角三角形.请重新举例.3*4除以5=12/5

海伦定理
p=(a+b+c)/2=365.5
p-a=84.5
p-b=126.5
p-c=154.5
s=√p(p-a)(p-b)(p-c)
=√603619275.1875
≈24568.66449743