平行四边形OADB的对角线交点为C.向量BM＝1/3向量BC,向量CN＝1/3向量CD.向量OA＝a

MN=MC+CN=(BC-BM)+CN=1/3BC+2/3CD=1/3*1/2BA+2/3*1/2OD=1/6(OA-OB)+1/3(OA+OB)=1/6(a-b)+1/3(a+b)=1/2a+1/6b.
|MN|=|1/2a+1/6b|=1/6|3a+b|=√3,|3a+b|=6√3.
|3a+b|^2=(3a+b)*(3a+b)=9|a|^2+6(a*b)+|b|^2=36+36+6(a*b)=108,所以a*b=6.
a*b=|a|×|b|×cos∠AOB=12cos∠AOB=6,所以cos∠AOB=1/2.所以sin∠AOB=√3/2.
平行四边形OADB的面积是△OAB的面积的2倍,等于|a|×|b|×sin∠AOB=2×6×√3/2=6√3.

1）MN=MC+CN=(BC-BM)+CN=1/3BC+2/3CD=1/3*1/2BA+2/3*1/2OD=1/6(OA-OB)+1/3(OA+OB)=1/6(a-b)+1/3(a+b)=1/2a+1/6b.
2）|MN|=|1/2a+1/6b|=1/6|3a+b|=√3,|3a+b|=6√3.
|3a+b|^2=(3a+b)*(3a+b)=9|a|^2+6(a*b)+|b|^2=36+36+6(a*b)=108,所以a*b=6.
a*b=|a|×|b|×cos∠AOB=12cos∠AOB=6,所以cos∠AOB=1/2.所以sin∠AOB=√3/2.
平行四边形OADB的面积是△OAB的面积的2倍,等于|a|×|b|×sin∠AOB=2×6×√3/2=6√3.

解题思路：设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AM⊥OB于M，CF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点C为AB的中点，又CF∥AM，得到CF为△ABM的中位线，可得CF为AM的一半，而AM为A的纵坐标，可得出CF的长，由OB-OM可得BM的长，根据F为BM的中点，得到FB的长，由OB-FB可得出OF的长，由C在第一象限，由CF和OF的长表示出C的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AM的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBD的面积为，列出等式，将a=3x代入可得出k的值．

设A（x，[k/x]），B（a，0），过A作AM⊥OB于M，CF⊥OB于F，如图，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AC=CB，
∴CF为△ABM的中位线，
∴CF=[1/2]AM=[k/2x]，MF=[1/2]（a-x），OF=OM+MF=[a+x/2]，
∴C（[a+x/2]，[k/2x]），
∵C在双曲线y=[k/x]上，
∴[k/2x]•[a+x/2]=k，
∴a=3x，
∵S_▱AOBC=OB•AM=12，
∴a•=3x•[k/x]=3k=12，
解得：k=4．
故答案为：4．

点评：
本题考点： 平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

考点点评： 此题属于反比例函数的综合题，考查了平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．