a1=2,an+1=an+2^n,求数列An的通项公式和前n项和Sn【详细过程,

971082022-10-04 11:39:543条回答

已提交，审核后显示！提交回复

山肌共回答了26个问题 | 采纳率92.3%: a(n+1)=an+2^n
a(n+1)-an=2^n
an-a(n-1)=2^(n-1)
.
a3-a2=2^2
a2-a1=2^1
以上等式相加得
a(n+1)-a1=2^1+2^2+...+2^n
a(n+1)-a1=2*[1-2^n]/(1-2)
a(n+1)-a1=2^(n+1)-2
a(n+1)-2=2^(n+1)-2
a(n+1)=2^(n+1)
an=2^n
sn=a1+a2+.+an
=2^1+2^2+.+2^n
=2^1+2^2+.+2^n
=2*(1-2^n)/(1-2)
=2^(n+1)-2; 1年前

在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n, 在数列an中,a1=1,且对任意实数n∈N*,都有,an+1=an+2^n, （1）求证：数列an/2^n是等差数列； （2）设数列an的前n项和为sn,求证:对任意的n∈N*,都有s（n+1）-4an=1 Mabel11241年前3: 挤独木桥共回答了26个问题 | 采纳率80.8%

题目写漏个2吧=_+【a(n＋1)＝2an＋2^n】
证明：
⑴
∵a(n＋1)＝2an＋(2^n)
∴a(n＋1)－2an＝2^n
∴[a(n＋1)－2an]/[2^(n＋1)]＝[a(n＋1)/2^(n＋1)]－[an/(2^n)]＝(2^n)/[2^(n＋1)]＝1/2
∴数列{an/2^n}是以首项为a1/2＝1/2,公差为1/2的等差数列
⑵
由⑴知：
an/(2^n)＝1/2＋(n－1)×1/2＝1/2n
∴an＝(1/2n)×(2^n)＝n•2^(n－1)
∴Sn＝1•(2^0)＋2•(2^1)＋3•(2^2)＋……＋(n－1)•2^(n－2)＋n•2^(n－1)
则2Sn＝ 1•(2^1)＋2•(2^2)＋3•(2^3)＋………………＋(n－1)•2^(n－1)＋n•(2^n)
两式相减,得：
Sn＝n•(2^n)－(1＋2＋2^2＋……＋2^(n－1))＝n•(2^n)－[ [1(1－(2^n)]/(1－2) ]＝n•(2^n)－(2^n)＋1＝(2^n)(n－1)＋1
∴S(n＋1)－4an＝[2^(n＋1)]•n＋1－[n•2^(n＋1)]＝1.

1年前查看全部