bn=2n+1,Tn为bn的和,求1/T1+1/T2+1/T3+……1/Tn

Tn=2*3+5*2^2+7*2^3+...+(2n+1)*2^n
2Tn=3*2^2+5*2^3+7*2^4+...+(2n+1)*2^(n+1)
Tn-2Tn=2*3+2*2^2+2*2^3+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
-Tn=6+2[4*(2^(n-1)-1)/(2-1)]-(2n+1)*2^(n+1)
-Tn=6+4*2^n-8-2(2n+1)*2^n
Tn=(4n-2)*2^n+2

记an的前n项和是An,记（-1）^n*bn的前n项和Bn,对于cn的前n项和可Sn=An+Bn,对于等比数列an的前n项和An运用公式可得An=3^n+1-3/2,bn是等差数列与等比数列之积,求和Bn通常是将等比数列的公比乘以Bn,然后两式相减,所的式子求和化简即可.对于bn的前n项和Bn=（-1）（2*1+1）+（-1）^2*(2*2+1)+……+(-1)^n*(2n+1)
将-1乘以Bn得：
-1Bn=(-1)^2*(2*1+1)+(-1)^3*(2*2+1)+……+（-1）^n*(2n-1)+(-1)^n+1*(2n+1)
将两式相减可得：
2Bn=-1+2(-1+1+……+(-1)^n)+(-1)^n+2*(2n+1)=2(n+1)(-1)^n-2
则Bn=(n+1)(-1)^n-1
综上所述可得Cn=(n+1)(-1)^n+3^n+1/2-5/2.
希望能够给你带来帮助.

解题思路：（1）根据数列的通项，写出相应的项，由此可写出d₁，d₂，d₃，d₄；
（2）数列{d_n}的前2012项的和为数列{a_n}的前2012项的和减去{b_n}的前10项的和，由此可得结论
（3）存在，列举一个c_n=6n-1=2×3n-1，n∈N^*，证明c_n∈A，c_n∉B即可．

（1）∵a_n=2n-1，b_n=2ⁿ⁺¹-1，
∴a₁=1，b₁=3；a₂=3，b₂=7；a₃=5，b₃=15；
∴A={1，3，5，7，9，11，13，…2n-1}，B={3，7，15，31，63，127，…2ⁿ⁺¹-1}，
∵D=C_AB，集合D中元素从小到大依次排列，构成数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…．
∴d₁=1，d₂=5，d₃=9，d₄=11；
（2）b₁=3，b₂=7，b₃=15，…b₁₀=2047，b₁₁=4095，a₂₀₁₂=2×2012-1=4023，a₂₀₂₂=2n-1=4043
∴数列{d_n}的前2012项的和为a₁+a₂+…+a₂₀₁₂-（b₁+b₂+…+b₁₀）=2022²-（2¹²-14）=40402
（3）存在．如c_n=6n-1（n∈N^*），
证明：c_n=6n-1=2×3n-1，n∈N^*，所以3n∈N^*，所以c_n∈A
假设c_n∈B，则存在实数k，6n-1=2^k+1-1，所以n=
1
3×2n（n∈N^*），
由于上式左边为整数，右边为分数，所以上式不成立，所以假设不成立，所以c_n∉B
所以c_n∈D．即c_n=6n-1（n∈N^*）满足要求．

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列知识的综合，考查数量的通项与求和，解题的关键是理解数列的新定义，有难度．

Tn=3*1+5*3+7*3^+……+(2n+1)*3^(n-1),①
3Tn= 3*3+5*3^+……+（2n-1)*3^(n-1)+(2n+1)*3^n,②
①-②,-2Tn=3+2[3+3^+……+3^(n-1)]-(2n+1)*3^n
=1+2[1-3^n]/(1-3)-(2n+1)*3^n
=-2n*3^n,
∴Tn=n*3^n,
Tn-(n-1)*3^n=3^n>81=3^4,
∴n>4,
∴最小正整数n为5.

(n-2)-bn=2(n-2)+1-2n-1=-4
当n为偶数时：
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+...+(-1)^(n-1)*bn*b(n+1)
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+...+bn[b(n-1)-b(n+1)]
=-4(b2+b4+...+bn)
=-4(5+9+...+2n+1)
=-2n²-6n
当n为奇数时：
b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+...+(-1)^(n-1)*bn*b(n+1)
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+...+b(n-1)[b(n-2)-bn]+bn*b(n+1)
=-4[b2+b4+...+b(n-1)]+bn*b(n+1)
=-4(5+9+...+2n-1)+(2n+1)(2n+3)
=2n²+4n+3