设抛物面∑：z=1/2(x^2+y^2) (0

切线问题
基础差的话 不好解

你知道外侧不?就是将S图形用平面z=0及z=2截取部分加上平面z=2形成一封闭图形,其外侧就是：介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧和平面z=2的上侧的总称

是一个高为1的碗形旋转抛物面,底圆半径为1,
转换成极坐标,V=4∫[0,π/2]dθ∫[0,1][（rcosθ)^2+(rsinθ)^2]rdr
=4∫[0,π/2]dθ∫[0,1]r^3dr
=4∫[0,π/2] (r^4/4)[0,1]dθ
=[∫[0,π/2]dθ
=π/2.

体积=∫∫D [√(2-x²-y²)-(x²＋y²)]dxdy
用极坐标去做即可.

它应该不是数字"8",而是代表角度的参数吧?,斜率是什么?在直线方程中就是某点的纵坐标与横坐标的比,他是常量,而抛物线或其他非直线形的曲线,个点的斜率都是不一样的,"d"者小也,小者微也,你学过微分就会明白了,楼主提到的就是某点的斜率(Tanθ)为:以这点为基准,在Y方向取微小部分,数学上用dy表示,横向也是,用dx,明白了吗?
才看见下面有推导,难道你没看出来吗?P点切线斜率角(左图)就是右图的角θ,因为P点的切线与N方向力是垂直的

二次曲面一般形式为 ax^2+by^2+c z^2
+2d xy+2eyz+2fxz+gx+hy+iz+j=0
考虑观测者在无穷远处观测,方程的一次项和常数项都是小量,因此形状取决于二次式
ax^2+by^2+c z^2
+2d xy+2eyz+2fxz=0
写为
(x,y,z)A(x,y,z)^T=0,
A 为矩阵
a d f
d b e
f e c
用相似变换将其对角化
得到S
s1 0 0
0 s2 0
0 0 s3
对应方程(z1,z2,z3)S(z1,z2,z3)^T=0
分如下几种情况
s1,s2,s3 都是正或都是负的,z=0,对应在无穷远处收缩为0的点,正是椭球在无穷远处的情形；
s1,s2,s3 两正一负或两负一正,对应无穷远处锥形,正是双曲面在无穷远处的情形；
s1,s2,s3 两正一零或两负一零,对应无穷远处收缩为线,正是抛物面在无穷远处的情形.不过严格的抛物面对应的两个非零s还要相等；
s1,s2,s3 一正一负一零,对应无穷远处收缩为两个面,正是双曲柱面在无穷远处的情形；
s1,s2,s3 两零,对应无穷远处收缩为细线形,正是椭圆柱面在无穷远处的情形.不过严格的圆面对应的两个非零s还要相等；
s1,s2,s3 两零,对应无穷远处收缩为一个线,正是抛物面在无穷远处的情形；

Y = 3 + C / X
齐次方程
方程的：x * dy的/ DX + y = 0处;
到：DY / Y = -dx / X;
有LN | Y | = -ln | X | + C;解决方案
太齐次方程为：Y = C / X;一般的解决方案
然后将原来的方程为：Y = H（X）/ X;
在积分方程的两边是：DY / DX = H'（X）/ XH（X）/ X ^ 2;
将被替换成你原来的微分方程式,得：
H'（x）= 3;
所以可供选择：H（X）= 3X = C;
将代入方程Y = H（x）的通解/的x,得到：Y = 3 + C / X;这是他的通解

1.表示一个顶点在原点,轴线在Z轴的圆锥曲面.
2.这个问题答案,你可以通过我第一个题的解答去想.很容易就写出来了,

楼上说的只能在平面上适用,在曲面上就不再适用了,曲面上两点之间最短的连线叫"测地线"也叫"短程线".要求曲面上两点间最段距离需要用到微积分,而且跟曲面的形状有关,求起来会比较复杂.如果曲面很复杂,那么问题会更加难解.这些都是微分几何上的内容.例如球面上两点间最短距离的曲线即球面的测地线是过这个球心的平面与这个球面所截得的大圆的弧.总之曲面的测地线是比较复杂的,不是一两个公式就能求出结果.

先把二次曲面的基本图形记住,再想象两个曲面相交会是什么样子.一般就那几个图形,二次曲面与平面,椭圆抛物面与球面,柱面和球面,锥面和球面.多看例题,然后自己再做一遍,相信你会有收获!

led都是具有方向性的,正前方的最大光强是40cd-50cd,用这个指标没办法计算.同一只发光管你提供不同的工作电流发光强度也不同的.led上有标mcd的和lumen的是同样的,有方向性,只有前方很窄的角度能达到标称值.
因此建议用光功率的方法算.因为LED的转化效率很高,这样就可以直接根距发光管的总电功率计算.led的发光效率大概是50-100lm/W,这样可以算出总的光通量,再依此计算照度.

都是递进关系,从一重积分开始,只说几何意义吧.
一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)当被积函数为1时,就是直线的长度(自由度较大)∫(a→b) dx = L(直线长度)被积函数不为1时,就是图形的面积(规则)∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)另外,定积分也可以求规则的旋转体体积,分别是盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx计算方法有换元积分法,极坐标法等,定积分接触得多,不详说了∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)

二重积分：有两个自变量z = f(x,y)当被积函数为1时,就是面积(自由度较大)∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ { y = rsinθ { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ
三重积分：有三个自变量u = f(x,y,z)被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大)∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ { y = rsinθ { z = z { h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ,rsinθ,z) r dzdrdθ极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ { y = rsinφsinθ { z = rcosφ { h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π { α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r²sin²φ drdφdθ
所以越上一级,能求得的空间范围也越自由,越广泛,但也越复杂,越棘手,而且限制比上面两个都少,对空间想象力提高了.重积分能化为几次定积分,每个定积分能控制不同的伸展方向.
又比如说,在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积,其中f(x) > g(x)用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx但是升级的二重积分,面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了
用不同积分层次计算由z = x² + y²、z = a²围成的体积?
一重积分(定积分)：向zox面投影,得z = x²、令z = a² --> x = ± a、采用圆壳法V = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
二重积分：高为a、将z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²所以就是求∫∫(D) (x² + y²) dxdy、其中D是x² + y² = a²V = ∫∫(D) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2
三重积分：旋转体体积,被积函数是1,直接求可以了柱坐标切片法：Dz：x² + y² = zV = ∫∫∫(Ω) dxdydz= ∫(0→a²) dz ∫∫Dz dxdy= ∫(0→a²) πz dz= π • [ z²/2 ] |(0→a²)= πa⁴/2柱坐标投影法：Dxy：x² + y² = a²V = ∫∫∫(Ω) dxdydz= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]= πa⁴/2三重积分求体积时能用的方法较多,就是所说的高自由度.
既然都说了这麼多,再说一点吧：如果再学下去的话,你会发现求(平面)面积、体积 比 求(曲面)面积的公式容易学完求体积的公式,就会有求曲面的公式就是「曲线积分」和「曲面积分」,又分「第一类」和「第二类」
当被积函数为1时,第一类曲线积分就是求弧线的长度,对比定积分只能求直线长度∫(C) ds = L(曲线长度)被积函数不为1时,就是求以弧线为底线的曲面的面积∫(C) f(x,y) ds = A(曲面面积)
当被积函数为1时,第一类曲面积分就是求曲面的面积,对比二重积分只能求平面面积∫∫(Σ) dS = A(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大∫∫(Σ) f(x,y,z) dS,物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等
而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要,而且是有"方向性"的,涉及向量范围了.这两个比较复杂,概念又深了一层,等你学到再理解吧.

这个你找一本线性代数课本,上面都有各种曲面的标准方程,对照一下就行了,没有谁会记这种方程的,只是用的时候查一下

设切点为（x0,y0,z0)
n=(-2x0,-2y0,1)
因为
切平面平行于平面X-Y+2Z=0
所以
-2x0/1=-2y0/(-1)=1/2
x0²＋y0²=z0
所以
x0=-1/4
y0=1/4
z0=1/8
所以
n=(1/2,-1/2,1)=1/2(1,-1,2)
所以
切点为（-1/4,1/4,1/8）
切平面方程为
（x+1/4）-(y-1/4)+2(z-1/8)=0
即x-y+2z+1/4=0

1、为什么要求X^2+Y^2=

由题意知,所围成的立体在xy平面上的投影是S：x²+y²≤2a²
故 所求全面积=∫∫{√[1+(-x/√(3a²-x²-y²))²+(-y√(3a²-x²-y²))²]+√[1+(x/a)²+(y/a)²]}dxdy
=∫∫[√3a/√(3a²-x²-y²)+√(a²+x²+y²)/a]dxdy
=∫dθ∫[√3a/√(3a²-r²)+√(a²+r²)/a]rdr (应用极坐标变换)
=π∫[√3a/√(3a²-r²)+√(a²+r²)/a]d(r²)
=π[-2√3a√(3a²-r²)+(2/3)(a²+r²)^(3/2)/a]│
=π[-2√3a(a-√3a)+(2/3)(3√3a³-a³)/a]
=π(16a²/3)
=16πa²/3.

图老是传不上,传得上的话就好,传不上追问我

体积=∫∫D（x²+y²）dxdy=∫∫D（p²）pdpdθ=∫（0,2π）dθ∫（0,√a）p³dp=1/4∫（0,2π）p^4|（0,√a）dθ=1/4∫（0,2π）a²dθ=πa²/2

一·用于反射几乎一切波!
1.电磁波（光波）,有灯罩,太阳灶,光能发电场的玻璃排列.
2.电磁波（无线电波）,有雷达的发射和接收天线,卫星接收天线等等
3.声波,超声波击碎结石的治疗仪.
二·仿锥体
仿锥体的前半部分是旋转抛物线的面,在通常速度下的流体中阻力最小,潜艇的头波,亚音速飞机的前缘,在空气中,因为这在亚音速状态下阻力最小,因为具有很好的整流效果.超音速当然是尖锥形最好,不过,航天飞机的头部很钝,这是为了散热和整体的气动阻力考虑的,因为速度太快尖椎体也受不了热,而利用钝形前部可以产生一个强激波,使整体的空气阻力最小.

旋转抛物面z=1-x^2-y^2与z=0（xoy平面）交线为一个半径=1的圆,方程为x^2+y^2=1,设该圆在第一象限部分与X轴和Y轴围成区域为D,根据对称性,
V=4∫【D】∫（1-x^2-y^2)dσ
=4∫【0→1】[∫（【0→√（1-y^2)】（1-x^2-y^2)dx]dy
=4∫[【（0→1】）∫【0→√（1-y^2)】[x-x^3/3-xy^2)dy]
=4∫[【（0→1】）[√（1-y^2)-(1-y^2)^(3/2)-y^2√（1-y^2)]dy
设y=sint,dy=costdt,y=0,t=0,y=1,t=π/2,
原式=4∫【0→π/2】[cost-(cost)^3-(sint)^2(cost)]costdt
=8/3∫【0→π/2】[(cost)^4dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1+cos2t)/2]^2dt
=(8/3)∫【0→π/2】[(1/4+cos2t+(1+cos4t)/8]dt
=(8/3)[t/4+sin2t/2+t/8+(sin4t)/32)【0→π/2】
=(8/3)[(3/8)*π/2+0+0]
=π/2.
其中【】积分下上限.
所围成的立体的体积为π/2.

双重积分,先积X再积Y,好像是这样的吧.好长时间了,忘了.积X时,把Y当成常数.然后再积Y,然后我就不知道了.不好意思.这个书上应当有.看看吧.孩子.

答：
所截曲面可以这样求：
z1=z2,所以√(x²+y²)=√(2ax)
即：x²+y²=2ax
即：(x-a)²+y²=a²
所以投影区域就是(x-a)²+y²

我做出来是长半轴为√(3(2+√3)),短半轴是√(3(2-√3)),用拉格朗日乘数法做的.如果你觉得答案靠谱就追问,我再把过程贴上去.

过（a,b,1+a^2+b^2)点的法向量是（2a,2b,--1）,切平面方程为
2a(x--a)+2b(y--b)--(z--1--a^2--b^2)=0,所围成区域的体积为
二重积分（D）(1+x^2+y^2--【2a(x--a)+2b(y--b)+1+a^2+b^2】)dxdy,其中D={(x,y):x^2+y^2

联立方程组,消去（x平方+y平方）,得z=2（易知0）,把z=2代入第一个方程,得x平方+y平方=4,所以相交的曲线是：{x平方+y平方=4,z=2}（曲线在平面的投影是x平方+y平方=4的圆

如果是抛物面,则令抛物线方程为y^2=2px,x=7时y=15,解得p=225/14,焦点为p/2=225/28=8cm,焦点是8cm

抛物面上的任意一点(x,y,x^2+y^2)到平面的距离
d=|x+y-2(x^2+y^2)-2|/根号6=2|(x-1/4)^2+(y-1/4)^2+7/8|/根号6,所以当x=y=1/4距离最短为7/4根号6

质量就是被积函数为μ,积分区域为Ω的三重积分,
质心的x,y坐标为零,z的坐标也是三重积分,
很多高数书上有公式

抛物面满足z'x=x,z'y=y
dS=√[1+(z'x)^2+(z'y)^2] dxdy=√(1+x^2+y^2) dxdy
质量
m=∫∫udS=∫∫zdS=(1/2)∫∫(x^2+y^2)√(1+x^2+y^2) dxdy
=(1/2)∫∫r^2√(1+r^2) rdrdθ
=(1/4)∫(0->2π)dθ ∫(0->√2) r^2√(1+r^2)d(r^2)
=(1/4)∫(0->2π)dθ ∫(0->2) t√(1+t)dt
=(50√5+2)π/15
那个∫(0->2) t√(1+t)dt,换元,令t=(tanu)^2即可.

有

解 V=∫【0,2π】dθ ∫【0,2】rdr ∫【0，r^2】dz

1. z=0
曲线是椭圆
2.x=0
曲线是抛物线
3.y=0
曲线是抛物线
抛物为重
所以
为椭圆抛物面.

旋转抛物面z=x²+y²被平面z=1所截部分曲面为x²+y²=1的单位圆
面积=π

第一个是对的!其余两个都不对!
错在：将x^2+y^2=z代入积分式.因为在立体内部x^2+y^2

不知你是光要画图呢?还是要进行计算.
他们的交线就是位于z=2的平面上半径为2的一个圆,给你花了一个,你看看吧：
clear all;clc;
zz=@(x,y)(x.^2+y.^2)/2;
ezsurf(zz,[-3,3,-3,3]);hold on;
[x0,y0,z0]=sphere(60);
r=2*sqrt(2);
X=r*x0;Y=r*y0;Z=r*z0;
surf(X,Y,Z);
axis([-5,5,-5,5,-5,5]);axis equal;
hidden off;
%-----------------------------------------
t=0:pi/100:2*pi;
rr=2;
x=rr*cos(t);
y=rr*sin(t);
z=2*ones(1,length(t));
plot3(x,y,z,'r','linewidth',10);grid on;

z=x^2+y^2
x+y+z=1
椭圆方程为(x+1/2)^2+(y+1/2)^2=3/2
z=1-x-y
原点到这椭圆上点的距离r=根号{x^2+y^2+z^2}
极值点坐标满足dr/dx=0
dr/dx=[2x+2y*dy/dx+2z*dz/dx]/2r
=x+y*dy/dx+(1-x-y)*(-1-dy/dx)
=(2x+y-1)+(x+2y-1)*dy/dx
对椭圆方程求导2*(x+1/2)+2*(y+1/2)*dy/dx=0
dy/dx=-(2x+1)/(2y+1)
dr/dx=(2x+y-1)-(x+2y-1)*(2x+1)/(2y+1)
=(2x+2y-3)*(y-x)/(2y+1)
dr/dx=0,=> (2x+2y-3)*(y-x)=0
x=y=+(-)根号3/2-1/2 ; x+y=3/2>1（舍去）
r=根号{x^2+y^2+z^2}=根号{2x^2+4y^2}=根号{(11+(-)6*根号3)/2}
r(min)=根号{(11-6*根号3)/2}
r(max)=根号{(11+6*根号3)/2}

x+y+x^2+y^2=1
(x+1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2
此图形表示以(-1/2,-1/2)为圆心,半径为根2/2的圆.它经过原点.所以最短距离为0.最长距离为2r=根2

,我写写吧,楼主自己解方程
由于都是连续函数
设目标函数g=x^2+y^2+z^2构建根号下也可以,但是麻烦
目的就是求g的极值
不妨构建拉格朗日函数
F（x,y,z)=x^2+y^2+z^2+m(x^2+y^2-z)+k(x+y+z-4)
解方程
Fx（x,y,z）=0
Fy（x,y,z）=0
Fz（x,y,z）=0
z=x^2+y^2
x+y+z-4=0
五个方程五个未知数
求出 x y z就是了,应该有两组
一个为极大,一个是极小
方程虽多,但是可合并,不难,你自己解OK

球面在(1,1,2)的法向量：m=（1,1,2）
抛物面在（1,1,2）的法向量：n=（1,-2,-4）
因为切向量与两个法向量都垂直,所以
切向量t平行于mXn=（0,-6,3）,取t=（0,2,-1）
所以切线方程为
（x-1）/0=(y-1)/2=(z-2)/(-1)

上半球面与旋转抛物面的交线的方程是方程组：z=√（2-x^2-y^2)，z=x^2+y^2. 消去z得x^2+y^2＝1，所以两个曲面围成立体在xoy面上的投影区域是D:x^2+y^2≤1

z=(x^2+y^2)/2,az/ax=x,az/ay=y,dS=根号(1+(az/ax)^2+(az/ay)^2)=根号(1+x^2+y^2),
积分区域为x^2+y^2

由x+my-2=0得x=2-my,
代入x²/2+z²/3=y得
3（4-4my+m^y^)+2z^=6y,
m=0时它变为z^=3(y-2),x=2,表示抛物线；
m≠0时3m^y^-(12m+6)y+12+2z^=0,
3m^[y-(2m+1)/m^]^+2z^=(6m+3)/m^-12,
当（6m+3)/m^-12>0,即4m^-2m-1

fZ是什么意思

花画圆的程序：
for i=-3:0.001:3
y=-sqrt(9-i^2);
plot(i,y);
hold on
end
hold on
for i=-3:0.001:3
y=sqrt(9-i^2);
plot(i,y);
hold on
end
%椭圆
for i=-6:0.01:6
y=-sqrt(36-i^2)/2;
plot(y,i);
hold on
end
%双曲线
for i=-6:0.01:6
y=-sqrt(36+i^2)/2;
plot(y,i);
hold on
end
hold on
for i=-6:0.01:6
y=sqrt(36+i^2)/2;
plot(y,i);
hold on
end
hold on
for i=-6:0.01:6
y=sqrt(36-i^2)/2;
plot(y,i);
hold on
end
%抛物线
for i=0:0.01:6
y=-sqrt(2*6*i);
plot(y,i);
hold on
end
hold on
for i=0:0.01:6
y=sqrt(2*6*i);
plot(y,i);
hold on
end