用向量内积证明:正方形的对角线相等且互相垂直

(2a+b)·b
=2ab+b²
=2·|a|·|b|·cos+|b|²
=2·2·3·cos30度+3²
＝12·√3/2+9
=6√3+9

ab=|a|×|b|×cos135
3k=3×根号（k平方+25）×负根号（2）/2 这里可以知道k是负值
k平方=1/2（k平方+25）
k平方=25
k=-5 舍去5

把向量外积定义为：
a × b = |a|·|b|·Sin.
分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证.有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明.
下面给出代数方法.我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性：
a × b = - b × a.
这由外积的定义是显然的.
2）内积（即数积、点积）的分配律：
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos,用投影的方法不难得到证明.
3）混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积,容易证明：
i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积,其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正,左手系为负）.
从而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).
由i)还可以推出：
iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3,则a必为零矢量.
下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律.
设r为空间任意矢量,在r·(a×(b + c))里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项,再利用数积分配律,得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量.按3)的iv),这个矢量必为零矢量,即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕.
参考资料：《空间解析几何引论》（第二版）,南开大学《空间解析几何引论》编写组

在直角坐标系下就是X1Y1+X2Y2+X3Y3(向量(X1 X2 X3)(Y1 Y2 Y3)的内积)

AB*AC=│AB│*│AC│cos120°

向量内积就是 对应的量相乘 然后相加求和：向量A = (x,y) 或者 (x,y,z)向量B = (M,N) 或者 (M,N,H)向量A、B内积 A •B = xM + YN ①或者 A• B = |A| * |B| * cosθ ②从①、②可以看出,向量内积 可正可负...

〔（0+3）,（2-3）〕*〔（0-3）,（2+3）〕=3*（-3）+(-1)*5=-14

|AB-BC|=|AC|=5,即|AB-BC|=|AB+BC|=5,|AB-BC|=|AB+BC|说明以向量AB和向量 BC为邻边构成的平行四边形对角线长度相等,该四边形是矩形,所以∠B=90°.由勾股定理得|BC|²+|AB|²=|AC|²又因|AB|=2|BC|,|AC|=...

|a|=5→a=±5 |b|=6→b=±6
①a*b=5*6=30
②a*b=(-5)*6=-30
③a*b=(-5)*(-6)=30
④a*b=5*(-6)=-30

我认为,数学方面的很多成果,一段时间以后才有实际情况与之对应.

1.已知向量a=（2,1）,向量b=（1,3）,则向量a乘向量b=( 5 )
2.已知| 向量a |=3,| 向量b |=4,则（向量a-向量b）乘（向量a+向量b）=（ -7 ）
3.已知向量a=（2,6）,向量b=（9,Y）,若向量a乘向量b=0,则y=（ -3 ）
4.已知点P（1,-3）,点Q在X轴上且| 向量PQ |=5,则点Q的坐标为（ 5,0 ）或（-3,0）
5.若| 向量a |=4,| 向量b |=2,向量a乘向量b=-8,则=（不明白 ）

定义：设有n维向量 向量内积(1张)
向量α与β的内积,内积（inner product）,又称数量积（scalar product）、点积（dot product） 他是一种矢量运算,但其结果为某一数值,并非向量.
设矢量A=[a1,a2,...an],B=[b1,b2...bn]
则矢量A和B的内积表示为:
A·B＝a1×b1＋a2×b2＋……＋an×bn
A·B = |A| × |B| × cosθ
|A|=(a1^2+a2^2+...+an^2)^(1/2);
|B|=(b1^2+b2^2+...+bn^2)^(1/2).
其中,|A| 和 |B| 分别是向量A和B的模,是θ向量A和向量B的夹角（一般情况下,θ∈[0,π/2]）.

AB*BC=0意味着角ABC等于90°
又因为四边形的对角和为180°,所以这是个矩形

AC *BD=(AB+AD)*(AD-AB)=AD^2-AB^2=16-36=-20

（ca,b）＝（a,cb）＝c（a,b）----------------------(1)
(a+b,c)=(a,c)+(b,c)---------------------------------------------(2)
(a,b+c)=(a,b)+(a,c)----------------------------------------------(3)
(x-(x,a)a/||a||^2, a)=(x,a)-((x,a)a/||a||^2, a) (从(2))
=(x-a)-(x-a)(a/||a||^2, a) (从(1))
=(x-a)-(x-a)(1/||a||^2)(a,a) (从(1))
=(x-a)-(x-a) (从(a,a)=||a||^2)
=0
(a,a/||a||+b/||b||)
=(a,a/||a||)+(a,b/||b||) (从(3))
=(1/||a||)(a,a)+(1/||b||)(a,b) (从(1))
=||a||)+(1/||b||)(a,b) (从(a,a)=||a||^2)

xx'+yy'+zz'可以由前面的推导过来.
|a|=√（x^2+y^2+z^2）
|b|=√（x'^2+y'^2+z'^2）
|c|=√（(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2）
cosθ=|a|^2+|b|^2-|c|^2/(2*|a||b|)
代入计算化简即可.

先看平面吧,原点为始点的单位向量可以是如下的形式:
(cos(a),sin(a)),a是向量与X轴夹角．
那么所有的这类向量的终点就落在圆：x^2+y^2=1上．
高维的时候,单位向量的终点的轨迹对应的就是：x1^2+x2^2++.xn^2=1

必修四,一般是高一