设f(x)＝2(log2x)2+2alog21x+b，已知当x＝12时，f（x）有最小值-8，

f(x)=2(log2x)2+2alog21/x +b
=2(log2x)2-2alog2x+b
=2[(log2x)2-alog2x+a^2)+b-2a^2
=2(log2x-a)^2+b-2a^2
f(1/2)=2(log2 1/2-a)^2+b-2a^2=-8
2(-1-a)^2+b-2a^2=-8
2(1+2a+a^2)+b-2a^2=-8
2+4a+2a^2+b-2a^2=-8
4a+b+10=0

解题思路：（1）令log₂x=t，则有f（x）=2t²-2at+b=g（t），可得当t=[a/2]时，g（t）取得最小值．即当log2

1

2

=[a/2] 时，g（t）取得最小值为 2(

a

2

)2-2a×[a/2]+b=-8．
由此求得a、b的值．
（2）由f（x）＞0 可得 2t²+4t-6＞0，解得t的范围，可得x的范围．

（1）令log₂x=t，则有f（x）=2t²-2at+b=g（t），
故由题意可得，当t=[a/2]时，g（t）取得最小值．
故当log2
1
2=[a/2] 时，g（t）取得最小值为 2(
a
2)2-2a×[a/2]+b=-8．
解得a=-2，b=-6．
（2）由f（x）＞0 可得 2t²+4t-6＞0，
解得 t＜-3，或t＞1，即log₂x＜-3，或 log₂x＞1，
解得 0＜x＜[1/8]，或 x＞2，
故所求的x的集合为 {x|0＜x＜
1
8 ，或x＞2}．

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．

f(x)=[2(log2(x))^2]+2alog2(1/x)+b
=[2(log2(x))^2]-2alog2(x)+b
令log2(x)=t
则可换为：
f(t)=2t^2-2at+b
而抛物线在对称轴处取得最值,而次抛物线开口向上,则取得最小值
即：f(t)=2(t-a/2)^2+b-a^2/2
而此时t=a/2时,取得最小值
由题意,当x=1/2时,f(x)有最小值-8
则：x=1/2,则t=-1
a/2=-1
b-a^2/2=-8
则,a=-2,b=-6
则：
f(t)=2t^2+4t-6=2(t+3)(t-1)
f(x)>0
则t>1,或者t1,或者log2(x)

解题思路：（1）令log₂x=t，则有f（x）=2t²-2at+b=g（t），可得当t=[a/2]时，g（t）取得最小值．即当log2

1

2

=[a/2] 时，g（t）取得最小值为 2(

a

2

)2-2a×[a/2]+b=-8．
由此求得a、b的值．
（2）由f（x）＞0 可得 2t²+4t-6＞0，解得t的范围，可得x的范围．

（1）令log₂x=t，则有f（x）=2t²-2at+b=g（t），
故由题意可得，当t=[a/2]时，g（t）取得最小值．
故当log2
1
2=[a/2] 时，g（t）取得最小值为 2(
a
2)2-2a×[a/2]+b=-8．
解得a=-2，b=-6．
（2）由f（x）＞0 可得 2t²+4t-6＞0，
解得 t＜-3，或t＞1，即log₂x＜-3，或 log₂x＞1，
解得 0＜x＜[1/8]，或 x＞2，
故所求的x的集合为 {x|0＜x＜
1
8 ，或x＞2}．

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．