一道几何证明题蝴蝶定理的解析法证明

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上.由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶,便以此命名,定理内容：圆O中的弦PQ的中点M,任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.
出现过许多优美奇特的解法,其中最早的,应首推霍纳在职815年所给出的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的,它给予出的是面积证法,其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA.1985年,在河南省《数学教师》创刊号上,杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题,载文向国内介绍蝴蝶定理,从此蝴蝶定理在神州大地到处传开.
这里介绍一种较为简便的初等数学证法.
证明：过圆心O作AD与B牟垂线,垂足为S、T,连接OX,OY,OM,SM,MT.
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD,BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O,S,X,M四点共圆
同理,O,T,Y,M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY,∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ,
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
如图1,椭圆的长轴A1A2与x轴平行,短轴B1B2在y轴上,中心为M（o,r）（b＞r＞0）.
（Ⅰ）写出椭圆的方程,求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线y=kx交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2,y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3,y3）,H（x4,y4）（y4＞0）.
求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C,D,G,H,设CH交X轴于点P,GD交X轴于点Q.
求证： | OP | = | OQ |.
（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
2．北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：
（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.
（Ⅰ）椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1
焦点坐标为
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=kx代入椭圆方程,得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2,
整理,得
(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理,得
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12), x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12),
所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程,同理可得
x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
由①,②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)
所以结论成立.

（Ⅲ）证明：设点P（p,o）,点Q（q,o）.
由C,P,H共线,得
(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)
由D,Q,G共线,同理可得
q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4),变形得：

x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
所以 |p|=|q|,即,|OP|=|OQ|.
3．简评
本小题主要考查直线与椭圆等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力.试题入门容易,第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题,但考查的却都是重点内容.
第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题.待证式子中含有x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4这样的对称式,式子结构对称优美,和谐平衡,使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理,启示了证明问题的思路.这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法.解两个联立的二元二次方程组,用代入消元法得到一元二次方程,分离系数利用韦达定理给出关于x1x2,x1+x2,x3x4,x3+x4的表达式,再分别代入待证式两边运算即达到证明目的.证明的过程中,由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”,整个证明过程也令人赏心悦目,感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力.
第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件,用到了过两点的直线的斜率公式,分别解出p,q以后,|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0.）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q,关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系.参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程,使人不易看出沟通的线索,以及命题人变形的思路,因此读者理解起来感到困难.如果将两式做如下变形,则思路就显然顺畅自然.
设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式,两边同取倒数,得
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 ②式,两边同取倒数,得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3,移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
将①’两边同乘以k1·k2,即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样.这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的,有分析、有综合,有思维,有运算.思路的选择有赖于对式子特征的观察联想.
综观这道题的题目特征及解答过程,我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力.
4．赏析：
上面我们看到,试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目,至此,我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的?它的背景是什么?它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示?
关于圆,有一个有趣的定理：
蝴蝶定理 设AB是圆O的弦,M是AB的中点.过M作圆O的两弦CD、EF,CF、DE分别交AB于H、G.则MH=MG.
这个定理画出来的几何图,很像一只翩翩飞舞的蝴蝶,所以叫做蝴蝶定理（图2）.
盯着试题的图1仔细看,它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶?
像,而且像极了.试题的证明过程及结果告诉我们,椭圆中蝴蝶定理依然成立,而且是用解析方法证明的.如果令椭圆的长轴,短轴相等,即a=b,则椭圆就变成了圆,椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理,上面的证明一样适用.由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得,故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理.“翩翩蝴蝶舞椭圆,飞落高考数学花.”读者诸君欣赏至此,是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心?
[关于“椭圆上的蝴蝶”,张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述,有兴趣的读者请参阅该书P54-59].
5．启示
椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞,飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园,令人欣喜异常.它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景,然而这里证明它,却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式,用到了解析几何最基本的方法.高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题,如P13习题一第14题：已知三点A（1,-1）、B（3,3）、C（4,5）.求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C,如果直线AB、AC的斜率相等,那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1,3）、B（5,7）、C（10,12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2,12）、B（1,3）、C（4,-6）在同一条直线上.你看,课本上的练习、习题、复习参考题,反复提到了三点共线的证明,并且强调用不同的方法来证明.为什么?你（老师、学生）关注到了它吗?
实际上,三点共线的不同证明,可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来,组织起来.你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式
证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1）,去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0,然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后,利用点到直线的距离公式
证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积,去证S△ABC=0.你看,有五、六种方法可以解决同一个问题,当然难度有高有低.一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现,从比较中才可以鉴别方法的优劣.据说考试下来,有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔,一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”!不知读者诸君欣赏至此,能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里?北京市有许多重点中学的师生,对高中数学课本的习题不屑一顾,很少去钻研教材中的例题、习题,去寻求与发现知识之间的内在联系,去总结解题的原则、思路与规律.各种各样的复习资料,几十套几十套的各地模拟试卷,使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔,这哪里还谈得上素质教育与培养能力?我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用,从而解放思想,勇敢大胆地摒弃“题海战术”.而要使学生跳出题海,老师就必须首先跳入题海,“题海探珠”,感悟数学教育改革的真谛.——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力.
国际水平现在大大提高,我们的判断方式也有所改变,生活只要你留心观察,就会有很大的收获!