设Ω是由剖物面z=2x^2+y^2与平面4x+2y+z=1所围的立体

预备知识：
①曲面面积公式：S=∫∫sqrt(EG-F^2)dudv
（积分区域为D={(u,v)|x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)},E=[x'(u)]^2+[y'(u)]^2+[z'(u)]^2,
G=[x'(v)]^2+[y'(v)]^2+[z'(v)]^2,F=x'(u)x'(v)+y'(u)y'(v)+z'(u)z'(v)）
②点到平面的距离公式：
对面ax+by+cz+d=0及点(X,Y,Z)
点到面距离d=|aX+bY+cZ+d|/(sqrt(a^2+b^2+c^2))
③拉格朗日数乘法
④切平面的距离求法（参考资料）
1）
联立两曲面公式并整理得：
2(x+2)^2+(y+1)^2=2
=>x=r*(cosα-2),y=r*(sqrt(2)sinα-1)（r∈(0,1),α∈(0,2π)）
则z=10r-4rcosα-2sqrt(2)sinα+1
=>sqrt(EG-F^2)=?
由曲面面积公式有：
S1=∫[0,1]dr∫[0,2π]sqrt(EG-F^2)dα（将sqrt(EG-F^2)带入本式求积分）
又由点到平面公式有：
d=d(P,S1)=|4X+2Y+Z-1|/(sqrt(21))
则椎体面积为：V=S1*d/3（将上述求得的S1和d带入求解）
2）参照参考资料中的描述,求出抛物面在P点(x0,y0,z0)的切平面方程为：
4x0*x+2y0*y-z=2x0^2+y0^2
当且仅当该平面与已知平面平行时,P点到已知平面距离最大
此时,P=(-1,-1,3).
PS：sorry我时间有限,不能把答案算出来给你,按这个思路算就可以,步骤很繁琐,加油吧亲