x1+x2+x3=0 基础解系有几个?课本是（1,0,-1）T和（0,1,-1）T.（-1,1,0）（-1,0,1）是不

1、
λx1+x2+x3=0
x1+λx2+ x3=0
x1+x2 + λx3=0
有非零解,
那么系数矩阵的秩要小于3,即行列式值为0
所以
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ 第2行减去第1行
=
λ 1-λ 1
1 λ-1 1
1 0 λ 第1行加上第2行
=
λ+1 0 1
1 λ-1 1
1 0 λ 按第2列展开
=(λ-1)*[(λ+1)*λ -1]=0
所以λ=1或λ^2+λ -1=0
解得λ=1或 (-1+√5)/2或(-1-√5)/2
2、
A属于分块矩阵,可以用分块逆矩阵来求,但实际上是一样的
用初等行变化求矩阵的逆矩阵的时候,
即用行变换把矩阵(A,E)化成(E,B)的形式,那么B就等于A的逆
在这里
(A,E)=
5 2 0 0 1 0 0 0
2 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 3 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 1 第1行减去第2行×2,第3行减去第4行乘以3
～
1 0 0 0 1 -2 0 0
2 1 0 0 0 1 0 0
0 0 -2 0 0 0 1 -3
0 0 1 1 0 0 0 1 第2行减去第1行×2,第3行除以-2,第4行减去第3行
～
1 0 0 0 1 -2 0 0
0 1 0 0 -2 5 0 0
0 0 1 0 0 0 -1/2 3/2
0 0 0 1 0 0 1/2 -1/2
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵A^(-1)就是
1 -2 0 0
-2 5 0 0
0 0 -1/2 3/2
0 0 1/2 -1/2
那么
|A^-1|=|A|^(-1)=1/[(5-2*2)*(1-3)]= -1/2
|A^11| =|A|^(11)=(-2)^11

系数行列式为
1 1 1
a b c
a^2 b^2 c^2
方程仅有零解,当且仅当系数行列式不等于0
而系数行列式的值为(c-a)(c-b)(b-a)
因此当a,b,c两两不等时,该方程组仅有零解.

这个应该用矩阵做吧
先写出矩阵来
K 1 1
1 1 1
1 2 1
计算这个矩阵,令其行列式为1,就可以算得K啦

系数行列式 = (3+A)A^2
由Crammer法则,A≠0 且 A≠-3时,方程组有唯一解.
当A = 0时,增广矩阵 =
1 1 1 0
1 1 1 3
1 1 1 0
r2-r1,r3-r1
1 1 1 0
0 0 0 3
0 0 0 0
方程组无解.
当A = -3时,增广矩阵 =
-2 1 1 0
1 -2 1 3
1 1 -2 -3
r3+r1+r2,r1+2r2
0 -3 3 6
1 -2 1 3
0 0 0 0
方程组有无穷多解/

根据定理,其次线性方程组有非零解等价于 系数行列式为零.
也就是 λ 1 1
1 μ 1 =0 化简一下为
1 2μ 1
λ 1 1
1 μ 1 =0 所以是μ(λμ-1)=0.
0 μ 0
因此 μ=0或者λμ=1.

它是三维空间中的二维平面
可以证明它的维数为2
令a=(1,-1,0),b=(1,0,-1),显然a,b线性无关且都属于V,下面证明它是V的一组基
设x=(x1,x2,x3)属于V
则x=(-x2-x3,x2,x3)=-x2(1,-1,0)-x3(1,0,-1)
所以a,b是V的一组基

解: 增广矩阵 =
1 1 1 0 0 0
1 1 -1 -1 -2 1
2 2 0 -1 -2 1
5 5 -3 -4 -8 4
r2-r1,r3-2r1,r4-5r1
1 1 1 0 0 0
0 0 -2 -1 -2 1
0 0 -2 -1 -2 1
0 0 -8 -4 -8 4
r3-r2,r4-4r2,r2*(-1/2)
1 1 1 0 0 0
0 0 1 1/2 1 -1/2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
r1-r2
1 1 0 -1/2 -1 1/2
0 0 1 1/2 1 -1/2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
通解为: (1/2,0,1/2,0,0)'+c1(-1,1,0,0,0)'+c2(1,0,-1,2,0)'+c3(1,0,-1,0,1)

入=2,入=-1时有非零解
详细解答点下图查看

有个定理是:齐次线性方程组基础解系所含向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩.即n-r
x1+x2+x3=0;
2x1-x2+x3=0
写为矩阵
1 1 1 1 1 1 1 4 0
2 -1 1 = 0 -3 -1 = 0 3 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵的秩为2,所以基础解析向量有一个 3-2=1