求x^2*y′+xy=y^2满足初始条件y(1)=1的特解?

两边同除以x^2
y'+y/x=y^2/x^2
令u=y/x,则y=ux,y'=u'x+u
u'x+u+u=u^2
u'x=u^2-2u
两边积分
ux-u=1/3u^3-u^2+C
ux=1/3u^3-u^2+u+C
y=1/3（y/x）^3-（y/x）^2+（y/x）+C

解 把所给方程变形为
dy/dx+y/x=y²/x² ①
令y/x=u 则y=ux
dy/dx=u+x*du/dx 代入①式得
u+x*du/dx+u=u²
分离变量 du/(u²-2u)=dx/x
两边积分 1/2 * ln|(u-2)/u| =ln|x|+lnC1
ln|(y-2x)/y|=ln|x²|+lnC1²
(y-2x)/y=Cx² (C=C1²)
化简得 y=2x/(1-Cx²)
即所求微分方程通解为：y=2x/(1-Cx²)
可以将其代入到原方程,发现方程两边相等
于是所求通解符合题意

x^2y'+xy=y^2
y'+y/x=(y/x)^2
y=xu dy=xdu+udx
xdu+udx+udx=u^2dx
xdu=u^2dx
du/u^2=dx/x
d(1/u)=-dln|x|
1/u=-ln|x|+C
通解x/y=-ln|x|+C
y|(x=1)=1,1=C
解x/y=-ln|x|+1

两边同时乘以1/(x^2y^2)
y'/y^2+1/(xy)=1/x^2
令1/y=t.则dt/dx=-1/y^2*dy/dx
可知可化为：
dt/dx-t/x=-1/x^2
一阶非齐次线性方程,利用公式：
t=e^∫（1/x)dx(C+∫e^∫（-1/x)dx*(-1/x^2) dx)
=x(C+1/2x^2)
代入.1/y=t
1/y=Cx+1/(2x)

解法一：设t=y/x,则y=xt,y'=xt'+t
代入原方程得xt'+t+t=t²
==>xt'=t²-2t
==>dt/(t²-2t)=dx/x
==>[1/(t-2)-1/t]dt=2dx/x
==>ln│t-2│-ln│t│=2ln│x│+ln│-C│ (C是积分常数)
==>(t-2)/t=-Cx²
==>-2/t=-Cx²-1
==>t=2/(1+Cx²)
==>y/x=2/(1+Cx²)
==>y=2x/(1+Cx²)
故原微分方程的通解是y=2x/(1+Cx²) (C是积分常数).
解法二：设t=1/y,则y=1/t,y'=-t'/t²
代入原方程得-x²t'/t²+x/t=1/t²
==>t'=t/x-1/x².(1)
∵齐次方程t'=t/x的通解是t=Cx (C是积分常数)
∴设微分方程(1)的解为t=C(x)x (C(x)表示关于x的函数)
∵t'=C'(x)x+C(x)
代入(1)得C'(x)x+C(x)=C(x)-1/x²
==>C'(x)x=-1/x²
==>C'(x)=-1/x³
==>C(x)=1/(2x²)+C (C是积分常数)
==>t=[1/(2x²)+C]x=1/(2x)+Cx=(1+Cx²)/(2x)
∴微分方程(1)的通解是t=(1+Cx²)/(2x) (C是积分常数)
==>1/y=(1+Cx²)/(2x)
==>y=2x/(1+Cx²)
故原微分方程的通解是y=2x/(1+Cx²) (C是积分常数).

同时除以x^2*y^2
1/y^2*y'+1/yx=1/x^2
令1/y=u
则d(1/y)/dx=du/dx
即1/y^2*y'=-du/dx
带入：
-du/dx+u/x=1/x^2
一阶非齐次线性方程
使用公式可得：
u=e^(∫1/xdx)(C-∫e^(∫-1/xdx)1/x^2dx）
=x（C+1/2x^2)
带入x=1/y
得xy（C+1/2x^2)=1
y（1）=1
C+1/2=1
C=1/2
特解
xy（1/2+1/2x^2)=1