旁心的证明（用初二之内的知识解决）

三角形的五心有许多重要性质,它们之间也有很密切的联系,如：
（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；
（3）三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；
（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
(9)三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍.
下面是更为详细的性质:
1:垂心
三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心.三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H.
性质1 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上.
性质2 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF.
性质3 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组).
性质4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆.
性质5 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.
性质6 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.
性质7 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.
性质8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.
性质9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短.
2:内心
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心,内心有下列优美的性质：
性质1 设I为△ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到△ABC三边的距离相等.
性质2 设I为△ABC的内心,则∠BIC=90°+12∠A,类似地还有两式；反之亦然.
性质3 设I为△ABC内一点,AI所在直线交△ABC的外接圆于D.I为△ABC内心的充要条件是ID=DB=DC.
性质4 设I为△ABC的内心,BC=a,AC=b,AB=c,I在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r,令p= (1/2)(a+b+c),则(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI.
性质5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之,若I为△ABC的∠A平分线AD(D在△ABC的外接圆上)上的点,且DI=DB,则I为△ABC的内心.
性质6 设I为△ABC的内心,BC=a,AC=b,AB=c,∠A的平分线交BC于K,交△ABC的外接圆于D,则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a.
3:外心
三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.外心有如下一系列优美性质：
性质1 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；三角形的外心到三顶点的距离相等,反之亦然.
性质2 设O为△ABC的外心,则∠BOC=2∠A,或∠BOC=360°-2∠A(还有两式).
性质3 设三角形的三条边长,外接圆的半径、面积分别为a、b、c,R、S△,则R=abc/4S△.
性质4 过△ABC的外心O任作一直线与边AB、AC(或延长线)分别相交于P、Q两点,则AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C.
性质5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.
4:重心
性质1 设G为△ABC的重心,△ABC内的点Q在边BC、CA、AB边上的射影分别为D、E、F,则当Q与G重合时QD·QE·QF最大；反之亦然.
性质2 设G为△ABC的重心,AG、BG、CG的延长线交△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然.
性质3 设G为△ABC的重心,则S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC；反之亦然.

正三角形的重心、垂心、外心、内心重合的点叫中心
一个物体的各部分都要受到重力的作用.从效果上看,我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点,这一点叫做物体的重心.
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.
锐角三角形垂心在三角形内部.
直角三角形垂心在三角形直角顶点.
钝角三角形垂心在三角形外部.
垂心是高线的交点
垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点.
三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.
内心是三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心.
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心.
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心.旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外.

边a,b,c 角A,B,C 六个两可以用顶点的复数表示出来
1)H=A*(a/Cos角A)/(a/Cos角A+b/Cos角B+c/Cos角C)
+B*(b/Cos角B)/(a/Cos角A+b/Cos角B+c/Cos角C)
+C*(c/Cos角C)/(a/Cos角A+b/Cos角B+c/Cos角C)
2)I=A*a/(a+b+c)+B*b/(a+b+c)+C*c/(a+b+c)
3)O=A*Sin2角A/(Sin2角A+Sin2角B+Sin2角C)
+B*Sin2角B/(Sin2角A+Sin2角B+Sin2角C)
+C*Sin2角C/(Sin2角A+Sin2角B+Sin2角C)
4)G=1/3*(A+B+C)
5)目前不知道
可以把外心O作为原点 并且设三角形ABC内接于单位圆周
H=(A+B+C) G=1/3(A+B+C) 别的就不知道了

重心：三角形三边中线的交点
垂心：三角形三条边上的高交于一点
旁心：旁切圆的圆心叫做三角形的旁心
内心：三个角的角平分线的交点
外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心

三角形的五心
一 定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

重心三条边的中线交点
外心三条边的垂直平分线交点
内心三个角的平分线交点
垂心三条边上的高的交点
旁心三角形旁切圆的圆心叫做三角形的旁心

一、外心.三角形外接圆的圆心,简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.圆周角定理:同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等) 圆周角推论1:半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.90‵圆周角所对弦是直径.(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.) 圆周角推论2:同(等)弧所对圆周角相等.同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.二、重心 三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式,便于解题.中线长度公式:在三角形ABC中,D为BC上的中点,设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b,则有 2（m2+n2)=a2+b2 三、垂心 三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角 三角形的垂心在三角形外.四、内心 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O是△ABC的内切圆,△ABC是⊙O的一个外切三角形,点O叫做△ABC的内心.张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.五、旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆,旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆,点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等,就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆,三个旁心.重心定理 三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍． 上述交点叫做三角形的重心.外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心.垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心.内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心.旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．

联接BF、BD,AB的延长线是BG
∵∠CBF=½∠ABC ∠CBE=½∠CBG
∴∠EBF=∠CBF+∠CBE=½(∠ABC+∠CBG)=90°
∵∠CBD=∠CAD ∠CAD=∠BAD
∴∠CBD=∠BAD
∵∠CBF=∠ABF
∴∠BFD=∠BAD+∠ABF=∠CBD+∠CBF=∠DBF
∴BD=DF
∵∠BFE+∠BEF=90° ∠DBF+∠DBE=90° ∴∠BFE=∠DBF
∴∠BEF=∠DBE
∴BD=DE
∴DE=DF

到三角形三边距离相等的点是重心,旁心
到三角形三顶点距离相等的点是内心
三角形的重心是三角形三条中线的交点.
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.
三角形的外心（旁心）是指三角形三条边的垂直平分线的交点.
三角形的三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心.

一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.
圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)
圆周角推论1: 半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.
90‵圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作...

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.内心是三条内角平分线的交点.三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.
锐角三角形垂心在三角形内部.
直角三角形垂心在三角形直角顶点.
钝角三角形垂心在三角形外部.
旁心是一个内角平分线于其不相邻的两个外角平分线的交点.它到三边的距离相等.
重心是三角形三边中线的交点
三角形我倒是没听说过中心这个名词.

重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.

内心是三角形内切圆圆心,外心是三角形外切圆圆心,旁心：旁切圆的圆心叫做三角形的旁心,重心是三边中垂线交点

用得最多的是重心,中线交点,几何中心
均质几何体,重心=几何中心,这是平衡点
理想状态下,将几何体支撑在该点或者绕垂直于该点的轴线旋转,几何体是平衡的.
除了特殊三角形其他似乎都是辅助性的数学工具,理论上用的较多

证明如下：只需证明原三角形的角平分线均为旁心三角形的垂线三角形的旁心三角形其实是三角形两外角平分线和一内角平分线三线交点组成的三角形设三角形为ＡＢＣ,角Ａ、角Ｂ、角Ｃ所对旁心分别为O1、Ｏ２、Ｏ３易证明三角形Ｏ１Ｏ２Ｏ３三边Ｏ１Ｏ２、Ｏ２Ｏ３、Ｏ３Ｏ１分别经过Ｃ、Ａ、Ｂ（比如Ｃ在Ｏ１Ｏ２上原因是O1、Ｏ２分别为角ＡＣＢ两外角平分线上的点,这两外角是对顶角,两平分线在同一直线上,Ａ、Ｂ在Ｏ２Ｏ３、Ｏ３Ｏ１上同样考虑）Ｏ１其实也是在角Ａ的平分线上,易知ＡＯ１垂直Ｏ２Ｏ３（角Ａ两外角等于两内角的＝角Ｂ＋角Ｃ,故角Ｏ２ＡＣ＝（角Ｂ＋角Ｃ）/2 故角Ｏ２Ｏ１＝角Ａ/2+角Ｏ２ＡＣ＝角Ａ/2+（角Ｂ＋角Ｃ）/2＝９０度　Ｏ１Ａ垂直Ｏ２Ｏ３,同理可证Ｏ２Ｂ垂直Ｏ１Ｏ３,Ｏ３Ｃ垂直Ｏ１Ｏ２）故三角形ＡＢＣ三内角的平分线为三角形Ｏ１Ｏ２Ｏ３垂线,即旁心三角形O1O2O3的垂心是原三角形ABC的内心

旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
如果一个图形围绕某点旋转180度后与原图形重合,我们就说这个图形是中心对称图形.

三角形内心是其内切圆圆心,即三条角分线交点,只有一个；
三角形外心是其外接圆圆心,即三条边的垂直平分线交点,只有一个；
三角形重心是三条中线的交点,只有一个；
三角形垂心是三条高线交点,只有一个；
三角形旁心是一条内角平分线和另两角外角平分线交点,即和其中一条边及另两条边之延长线相切的圆的圆心,有三个旁心.

下边是我从网上找的,希望能解决你的问题.中心,重心,垂心,内心,外心,旁心的定义和性质 旁心是三个外角平分线的交点.垂心是三条高线的交点.重心是三条中线的交点.外心是三条垂直平分线（也就是中垂线）的交点.内心是三条内角平分线的交点 内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.正三角形的重心、垂心、外心、内心重合的点叫中心 一个物体的各部分都要受到重力的作用.从效果上看,我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点,这一点叫做物体的重心.重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形垂心在三角形内部.直角三角形垂心在三角形直角顶点.钝角三角形垂心在三角形外部.垂心是高线的交点 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点.三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆.内心是三角形三条内角平分线的交点,即内切圆的圆心.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心.三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心.旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外.

作P关于BC、CA、AB的垂线，垂足为D、E、F
由角平分线性质知FP=DP，EP=DP
所以EP=FP
所以AP平分角BAC

内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.三角形的五心 (重心,外心,垂心,内心,旁心） 定理 重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的 离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

外心,三边中线的交点.

三角形共有五心：
内心：三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心.
性质：到三边距离相等.
外心：三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心.
性质：到三个顶点距离相等.
重心：三条中线的交点.
性质：三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍.
垂心：三条高所在直线的交点.
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等.
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和.
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心

1、可以求出三角形三边所在的直线方程；
2、设旁心坐标是O'(a,b),则利用点O'到三角形三边距离相等得到两个方程,解这两个方程就可以求出a、b的值了；
3、旁心圆的半径就是点O'到三角形一边的距离.

垂心是三角形三条高的交点
内心是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心
重心是三角形三条中线的交点
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心
旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点
正三角形中,中心和重心,垂心,内心,外心重合!
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

这是我整理的一些内容,希望对你有所帮助：
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延长CO交AB于D,根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线,所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量OC与向量DA、DB不共线,
所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.
必要性：
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E,CO与AB相交于F,
∵O是内心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
过A作CO的平行线,与BO的延长线相交于N,过A作BO的平行线,与CO的延长线相交于M,
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2.
已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P点轨迹过三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P点轨迹过三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP与AB+AC共线
AB+AC过BC中点D,所以P点的轨迹也过中点D,
∴点P过三角形重心.
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP与向量BC垂直,
P点的轨迹过垂心.
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量,
向量AB与AC的单位向量的和向量,
因为是单位向量,模长都相等,构成菱形,
向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线,
易知是角平分线,所以P点的轨迹经过内心.
三角形重心表达式: 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
证明：设AD为三角形ABC中BC边的中线,O为三角形的重心
延长OD到E,使OD=DE,连结BE,CE
且有BD=DC,所以四边形BOCE为平行四边形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o为重心,将AD分为2：1两部分,即AO=2OD=OE
综上向量OA=-向量OE=-（向量OB+向量OC）
即：向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心
O是三角形的垂心: 向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
证明：向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即（向量OA-向量OB）（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）（向量CA+向量BC）
即向量BA•（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）•向量BA
即向量BA•（向量OA-向量CA+向量OB+向量BC）=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可证OA⊥CB,OB⊥AC.
所以O是三角形的垂心.
另:三角形内心是其内切圆圆心,即三条角分线交点,只有一个；
三角形外心是其外接圆圆心,即三条边的垂直平分线交点,只有一个；
三角形重心是三条中线的交点,只有一个；
三角形垂心是三条高线交点,只有一个；
三角形旁心是一条内角平分线和另两角外角平分线交点,即和其中一条边及另两条边之延长线相切的圆的圆心,有三个旁心.

重心center of gravity
外心circumcenter
内心heart
垂心orthocenter
旁心escente

三角形旁心是到三边距离相等

旁心是三个外角平分线的交点.
垂心是三条高线的交点.
重心是三条中线的交点.
外心是三条垂直平分线（也就是中垂线）的交点.
内心是三条内角平分线的交点

三棱锥P-ABC,顶点射影是O
内心意味着O在三角形ABC内,且O到3边的距离相等,又顶点到底面的距离PO是公共的,
那么由勾股定理
也就是有P到AB,BC,CA的距离相等.
旁心也是类似的,只是O在三角形ABC外
外心,O到3顶点的距离相等,也就是P到A,B,C的距离相等.
垂心,用三垂线定理,可以得到PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB 也就是对棱垂直
重心,连接重心和三顶点A,B,C,可以知道分成的3个小三角形面积都相等.
面积射影定理有相关的东西吧

重心：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
内心：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.

重心角三个平分线的交点 垂心是角垂直平分线交点 外心是三角形外接圆圆心

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心.旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.如图,点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角...

由于有两个图,只能用图片链接了
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