在△ABC中，若acos2C2+cos2A2=[3b/2]，求证：a，b，c成等差数列．

解题思路：由二倍角的余弦公式，化简整理得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=[3/2]sinB，再将左边展开并利用和的正弦公式合并，结合sin（A+C）=sinB消元得到sinA+sinC=2sinB，最后由正弦定理化简即可得a+c=2b，得到a，b，c成等差数列．

∵cos2
C
2=[1+cosC/2]，cos2
A
2=[1+cosA/2]
∴由acos2
C
2+cos2
A
2=[3b/2]，得a•
1+cosC
2+c•
1+cosA
2＝
3b
2…（4分）
由正弦定理，得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=[3/2]sinB
∴sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB…（6分）
整理，得sinA+sin（A+C）+sinC=3sinB（*）…（8分）
∵在△ABC中A+B+C=π，∴sin（A+C）=sinB…（10分）
因此，在（*）式两边消去一个sinB，得sinA+sinC=2sinB，
再由正弦定理，得a+c=2b，所以a，b，c成等差数列…（13分）

点评：
本题考点： 正弦定理；等差关系的确定．

考点点评： 本题给出三角形ABC的边角关系的等式，求证三边成等差数列，着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．