设f（x）=[1/3]x3+mx2+nx．

（Ⅰ）由函数f（x）图象过点（1，-4），得m-n=-3，①
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，
则g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n；
而g（x）图象关于y轴对称，所以-[2m+6/2×3]=0，所以m=-3，
代入①得n=0．所以m、n的值分别为-3、0；
从而f（x）=x³-3x²-2，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，故f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，故f（x）的单调递减区间是（0，2）．
∴f（x）的极大值为f（0）=-2，极小值为f（2）=-6；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

由此可得：
①当-2＜a≤0时，f（x）在[-2，a]内为增函数，最大值为f（a）=a³-3a²-2；
②当0＜a≤3时，由于f（0）≥f（a），f（x）在[-2，a]内最大值为f（0）=-2；
③a＞3时，由于f（0）＜f（a），可得f（x）在[-2，a]内最大值为f（a）=a³-3a²-2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；奇偶函数图象的对称性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．

（1）由题意得g（x）=f′（x）-2x-3=x2+2mx+n-2x-3=（x+m-1）2+（n-3）-（m-1）2，又g（x） 在x=-2处取得最小值-5，所以m−1＝2(m−3)2+(n−3)−(m−1)2＝−5，解得m=3，n=2．所以f（x）=13x3+3x2+2x． （...

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查了幂函数的求导公式、二次函数的最值及一元二次方程根与系数的关系；更主要的是考查利用导数研究函数单调性的方法及分类讨论的思想方法．

（Ⅰ）由函数f（x）图象过点（-1，-6），得m-n=-3，①…（1分）
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，…（2分）
则g（x）=f′（x）+6x=3x²+（6+2m）x+n；
而g（x）图象关于y轴对称，所以-[2m+6/2×3]=0，所以m=-3，
代入①得n=0．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．…（5分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，0） 0 （0，2） 2 …（8分）
（2，+∞）
f′（x） + 0 - 0
f（x） 极大值 极小值 由此可得：
当0＜a＜1时，f（x）在（a-1，a+1）内有极大值f（0）=-2，无极小值；
当a=1时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值；
当1＜a＜3时，f（x）在（a-1，a+1）内有极小值f（2）=-6，无极大值；
当a≥3时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值．…（11分）
综上得：当0＜a＜1时，f（x）有极大值-2，无极小值，当1＜a＜3时，有极小值-6，无极大值，当a=1或a≥3时，f（x）无极值．…（12分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质；导数的运算．

考点点评： 本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．

（Ⅰ）由函数f（x）图象过点（-1，-6），得m-n=-3，①
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，
则g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n；
而g（x）图象关于y轴对称，所以-[2m+6/2×3]=0，所以m=-3，
代入①得n=0．
于是f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞得x＞2或x＜0，
故f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间是（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

由此可得：
当0＜a＜1时，f（x）在（a-1，a+1）内有极大值f（O）=-2，无极小值；
当a=1时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值；
当1＜a＜3时，f（x）在（a-1，a+1）内有极小值f（2）=-6，无极大值；
当a≥3时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值．
综上得：当0＜a＜1时，f（x）有极大值-2，无极小值，当1＜a＜3时，f（x）有极小值-6，无极大值；当a=1或a≥3时，f（x）无极值．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．

（Ⅰ）∵f（x）=[1/3]x³+mx²+nx，
∴f′（x）=x²+2mx+n，
则g（x）=f′（x）-2x-3=x²+2mx+n-2x-3=x²+（2m-2）x+n-3，
若g（x）在x=-2处取得最小值-5，
则

−
2m−2
2＝−2
4−2(2m−2)+n−3＝−5，
解得

m＝3
n＝2，
则f（x）的解析式f（x）=[1/3]x³+3x²+2x；
（Ⅱ）（i）若m=1，则f′（x）=x²+2x+n=（x+1）²+n-1，
①当n≥1时，f′（x）≥0，此时函数单调递增．
②当n＜1时，由f′（x）=0，得x1＝−1−
1−n，x2＝−1+
1−n，
当x∈（-∞，-1-
1−n）或（-1+

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查函数解析式的求解，函数单调性的判断，要求熟练掌握函数单调性和导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．