微分方程y″+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（　　）

所给方程为一阶线性微分方程，且
P（x）=cosx，Q（x）=（lnx）e^-sinx
故原方程的通解为
y=e−

P(x)dx[

Q(x)e

P(x)dxPdx+C]
=e−

cosxdx[

(lnx)e−sinxe−

cosxdxdx+C]
=e^-sinx（

lnxdx+C）
=e^-sinx（xlnx-x+C）

点评：
本题考点： 一阶线性微分方程的求解．

考点点评： 本题主要考查一阶线性微分方程的求解，属于基础题．

由微分方程，得

dy
y＝−xdx（y≠0）
两边积分，得
ln|y|＝−
1
2x2+C1
∴y＝Ce−
1
2x2，其中C＝±eC1≠0
但y=0也是方程的解，
故微分方程y′+xy=0的通解是
y＝Ce−
1
2x2，C为任意常数．

点评：
本题考点： 可分离变量微分方程的求解．

考点点评： 此题考查了分离变量微分方程的解法，这是基础知识点，要熟练掌握．

设y′=p，则原方程变为：
p′（x+p²）=p，
即：
[dp/dx(x+p2)＝p，
化作：
x+p2
p＝
dx
dp]，
即：[dx/dp＝
x
p+p
令
x
p＝u，则x＝up，
有：
dx
dp＝u+p
du
dp]
所以：u+p
du
dp＝u+p，
得：[du/dp＝1，
所以：u=p+c，c为任意常数，
则：
x
p＝p+c，
又因为y′（1）=1，
即：x=1时，p=1，
所以：c=0，
从而：x=p²
则：p＝
x]，
y′＝
x
求得：y＝
2
3x
3
2+C，C为任意常数，
因为：y（1）=1，
所以，C=[1/3]，
于是，y＝
2
3x
3
2+
1
3．

点评：
本题考点： 可降阶的高阶微分方程求解．

考点点评： 本题考查可降阶的高阶微分方程的求解．需要注意灵活选定自变量、因变量，以便于求解为原则．

因为常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0 的通解为
y=（C₁+C₂ x）e^x，
故 r₁=r₂=1为其特征方程的重根，且其特征方程为
（r-1）²=r²-2r+1，
故 a=-2，b=1．
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，
设其特解为 y*=Ax+B，
代入y″-2y′+y=x 可得，
0-2A+（Ax+B）=x，
整理可得
（A-1）x+（B-2A）=0，
所以 A=1，B=2．
所以特解为 y*=x+2，
通解为 y=（C₁+C₂ x）e^x +x+2．
将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，
C₁=0，C₂=-1．
故所求特解为 y=-xe^x+x+2．
故答案为-xe^x+x+2．

点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解；微分方程的显式解、隐式解、通解和特解．

考点点评： 本题是一个中档型题目，考察了线性常微分方程的求解方法．题目的难度系数并不大，只是计算量较大．

由微分方程y″+4y′+4y=0的特征方程为：
r²+4r+4=0
解得：r_1，2=-2
∴通解为：
y=（C₁+C₂x）e^-2x，其中C₁、C₂为任意常数．

点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解．

考点点评： 此题考查二阶常系数齐次线性方程组的解法，是基础知识点．

微分方程y″+6y′+9y=0的特征方程为：
λ²+6λ+9=0，
求解可得，λ_1，2=-3，
从而方程的两个线性无关的解为：e^-3x，xe^-3x．
由二阶齐次线性微分方程解的结构定理可得，
所求方程的通解为：
y=C₁e^-3x+C₂xe^-3x．
故答案为：C₁e^-3x+C₂xe^-3x．

点评：
本题考点： 线性微分方程解的性质及解的结构定理．

考点点评： 本题考查了二阶齐次线性微分方程的求解方法，其中利用了线性微分方程解的结构定理，题目的难度系数适中．

设y′=p，则原方程变为：
p′（x+p²）=p，
即：
[dp/dx(x+p2)＝p，
化作：
x+p2
p＝
dx
dp]，
即：[dx/dp＝
x
p+p
令
x
p＝u，则x＝up，
有：
dx
dp＝u+p
du
dp]
所以：u+p
du
dp＝u+p，
得：[du/dp＝1，
所以：u=p+c，c为任意常数，
则：
x
p＝p+c，
又因为y′（1）=1，
即：x=1时，p=1，
所以：c=0，
从而：x=p²
则：p＝
x]，
y′＝
x
求得：y＝
2
3x
3
2+C，C为任意常数，
因为：y（1）=1，
所以，C=[1/3]，
于是，y＝
2
3x
3
2+
1
3．

点评：
本题考点： 可降阶的高阶微分方程求解．

考点点评： 本题考查可降阶的高阶微分方程的求解．需要注意灵活选定自变量、因变量，以便于求解为原则．

所给方程为一阶线性微分方程，且
P（x）=cosx，Q（x）=（lnx）e^-sinx
故原方程的通解为
y=e−

P(x)dx[

Q(x)e

P(x)dxPdx+C]
=e−

cosxdx[

(lnx)e−sinxe−

cosxdxdx+C]
=e^-sinx（

lnxdx+C）
=e^-sinx（xlnx-x+C）

点评：
本题考点： 一阶线性微分方程的求解．

考点点评： 本题主要考查一阶线性微分方程的求解，属于基础题．

∵y₁，y₂，y₃是微分方程y″+py′+qy=f（x）的三个线性无关的解，
∴y₁-y₃和y₂-y₃是其对应齐次微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，
又∵y=c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃=c₁（y₁-y₃）+c₂（y₂-y₃）+y₃，其中c₁，c₂两个独立的任意常数，
∴y=c₁y₁+c₂y₂+（1-c₁-c₂）y₃是微分方程y″+py′+qy=f（x）的通解，
故选：D．

点评：
本题考点： 微分方程的显式解、隐式解、通解和特解．

考点点评： “二阶非齐次线性微分方程的通解=二阶对应齐次微分方程的通解+二阶非齐次线性微分方程的一特解”，这一结论，跟线性代数中线性方程组解的结构相同．

非齐次微分方程y″+ay′+by=x对应的齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为：
Y=（c₁+c₂x）e^x，
故可设非齐次微分方程y″+ay′+by=x的特
y^*=mx+n，
y^*′=m，y^*″=0，
代入非齐次微分方程：y″+ay′+by=x，
可得：am+b（mx+n）=x，
从而：m＝
1
b，n＝−
a
b2，
所以：y*＝
1
bx−
a
b2
于是，非齐次微分方程y″+ay′+by=x的通
y＝Y+y*＝(c1+c2x)ex+
1
bx−
a
b2，
又由：y（0）=0，y′（0）=0可得：


c1−
a
b2＝0
c1+c2+
1
b＝0，
所以求得：

c1＝
a
b2
c2＝−
a+b
b2，
所以，y＝(
a
b2−
a+b
b2x)ex+
1
bx−
a
b2．

点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解；二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 本题考查二阶常系数非齐次微分方程的求解．需注意本题非齐次方程满足的条件代入时要代非齐次方程的通解而不是特解．

原方程对应齐次方程y''+y=0的特征方程为：
r²+1=0，其特征根为：
r₁=i，r₂=-i，
所以齐次方程的通解为：
y=C₁cosx+C₂sinx．
设非齐次方程y''+y=cosx的一个特解为：
y₂=Excosx+Dxsinx，代入该方程，得E＝0，D＝
1
2．
所以y2＝
1
2xsinx．
所以原方程的通解为y=C₁cosx+C₂sinx+
1
2xsinx．

点评：
本题考点： 齐次方程求解．

考点点评： 本题主要考查齐次方程的求解，属于基础题．

因为常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0 的通解为
y=（C₁+C₂ x）e^x，
故 r₁=r₂=1为其特征方程的重根，且其特征方程为
（r-1）²=r²-2r+1，
故 a=-2，b=1．
对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，
设其特解为 y*=Ax+B，
代入y″-2y′+y=x 可得，
0-2A+（Ax+B）=x，
整理可得
（A-1）x+（B-2A）=0，
所以 A=1，B=2．
所以特解为 y*=x+2，
通解为 y=（C₁+C₂ x）e^x +x+2．
将y（0）=2，y（0）=0 代入可得，
C₁=0，C₂=-1．
故所求特解为 y=-xe^x+x+2．
故答案为-xe^x+x+2．

点评：
本题考点： 二阶常系数齐次线性微分方程求解；微分方程的显式解、隐式解、通解和特解．

考点点评： 本题是一个中档型题目，考察了线性常微分方程的求解方法．题目的难度系数并不大，只是计算量较大．

微分方程y″+6y′+9y=0的特征方程为：
λ²+6λ+9=0，
求解可得，λ_1，2=-3，
从而方程的两个线性无关的解为：e^-3x，xe^-3x．
由二阶齐次线性微分方程解的结构定理可得，
所求方程的通解为：
y=C₁e^-3x+C₂xe^-3x．
故答案为：C₁e^-3x+C₂xe^-3x．

点评：
本题考点： 线性微分方程解的性质及解的结构定理．

考点点评： 本题考查了二阶齐次线性微分方程的求解方法，其中利用了线性微分方程解的结构定理，题目的难度系数适中．

由于微分方程y″+2y′+3y=e^-xcos
2x所对应的特征方程为
r²+2r+3=0
解得：r1，2＝−1±
2i
而f(x)＝e−xcos
2x是属于e^λx[P_l（x）cosωx+P_n（x）sinωx]型，这里λ=-1，ω=
2，P_l（x）=1，P_n（x）=0
而λ±ωi=-1±
2i是特征方程的根，因此微分方程的特解，可设为
y*＝xe−x[acos
2x+bsin
2x]
故选：C．

点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 此题考查二阶常系数非齐次特解的求法，要根据方程右端的f（x）形式和特征根对应的关系来给出特解形式．

令y'=p，则y″=p
dp
dy
∴p
dp
dy+
2
1-yp2=0
∴①当p≠0时，[dp/p=2
dy
y-1]，两边积分，得
ln|p|=ln（y-1）²+ln|C₁|
即p=C1(y-1)2，C₁≠0
此时，
dy
dx=C1(y-1)2
解得
1
1-y=C1x+C2，C₁≠0，C₂为任意常数．
②当p=0时，此时y=C
综合①②得
微分方程的通解为：
1
1-y=C1x+C2，C₁，C₂为任意常数．

点评：
本题考点： 可降阶的高阶微分方程求解

考点点评： 此题考查可降阶的微分方程的解法，属于基础知识点．

由于微分方程y″+5y′=2x+e^-5x的特征方程为r²+5r=0，解得特征根为r=0、r=-5
因此y″+5y′=0通解为y＝C1+C2e−5x
又微分方程y″+5y′=2x的f（x）=2x，其f（x）=2x，而λ=0是特征根，
故其特解为y₁=x（ax+b），代入到微分方程y″+5y′=2x，解得a＝
1
5，b＝−
2
25
即y″+5y′=2x的特解为y1＝
1
5x(x−
2
5)
又微分方程y″+5y′=e^-5x的f（x）=e^-5x，λ=-5是特征根
故其特解为y2＝cxe−5x，代入到微分方程y″+5y′=e^-5x，解得：c＝−
1
5
即微分方程y″+5y′=e^-5x的特解为y2＝−
1
5xe−5x
∴微分方程y″+5y′=2x+e^-5x的一个特解为y1+y2＝
1
5x(x−
2
5)−
1
5xe−5x

点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，是基础知识点．需要注意的是，求特解时，将其拆开成两个微分方程的形式，分别求．

由于特征方程为r²+2r+1=0，解得特征根为r=-1（2重）
∴齐次方程的通解为y＝(C1+C2x)e−x
而f（x）=xe^-x，λ=-1
故有特y^*=x²（ax+b）e^-x，
代入微分方程y″+2y′+y=xe^-x，解得
a＝
1
6，b＝0
∴特解y*＝
1
6x3e−x
∴通解为：
y＝(C1+C2x+
1
6x3)e−x

点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解．

考点点评： 此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，是基础知识点．

原方程对应齐次方程y''+y=0的特征方程为：
r²+1=0，其特征根为：
r₁=i，r₂=-i，
所以齐次方程的通解为：
y=C₁cosx+C₂sinx．
设非齐次方程y''+y=cosx的一个特解为：
y₂=Excosx+Dxsinx，代入该方程，得E＝0，D＝
1
2．
所以y2＝
1
2xsinx．
所以原方程的通解为y=C₁cosx+C₂sinx+
1
2xsinx．

点评：
本题考点： 齐次方程求解．

考点点评： 本题主要考查齐次方程的求解，属于基础题．