圆锥筒 角速度如图,若A和B的质量是相等的.它们的角速度大小是否相同呢?我做过类似的题,貌似它们的角速度是不同的,可是我

（1）设圆锥母线与水平方向的夹角为θ．当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
由平衡条件得
摩擦力的大小：f=mgsinθ=
mgH

H2+R2
支持力的大小：N=mgcosθ=
mgR

H2+R2；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有
mgtanθ=mω²[R/2]
由几何关系得 tanθ=[H/R] 联立解得ω=

2gH
R
答：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力为
mgH

H2+R2，
支持力的大小为
mgR

H2+R2；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度为

点评：
本题考点： 牛顿第二定律；力的合成与分解的运用；共点力平衡的条件及其应用；向心力．

考点点评： 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．

（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
由平衡条件得
摩擦力的大小：f=mgsinθ=
mgH

H2+R2
支持力的大小：N=mgcosθ=
mgR

H2+R2
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有
mgtanθ=mω²[R/2]
由几何关系得 tanθ=[H/R]
联立解得ω=

2gH
R
（3）若摩擦力方向沿斜面向上，则有：
竖直方向：Ncosθ+fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ-fcosθ=mω²r
其中f=[1/2mg，r=
R
2]
解得：ω=5 rad/s
若摩擦力方向沿斜面向下，则有：
竖直方向：Ncosθ-fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ+fcosθ=mω²r
其中f=[1/2mg，r=
R
2]
解得：ω=5
11 rad/s
答：①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的摩擦力大小为
mgH

H2+R2，支持力的大小为
mgR

H2+R2；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度大小为

2gH
R；
③若H=0.075m，R=0.1m，物体随筒一起匀速转动并保持相对静止时，物体受到的摩擦力大小为其重力的一半，筒转动的角速度大小为5 rad/s或5
11 rad/s．

点评：
本题考点： 向心力；牛顿第二定律．

考点点评： 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．

A、如下图所示；小球受重力和支持力而做匀速圆周运动，则合外力一定指向圆心；
由力的合成可知，F=mgtanθ=mg[H/R]=mrω²；由几何关系可知，r=[R/2]；
解得：ω=

2gH
R；故A正确；
B、小球只受重力和支持力；向心力是由合外力充当；故B错误；
C、由A的分析可知，合外力F=mg[H/R]；故C错误；
D、小球受到的合外力指向圆心，故D错误；
故选：A．

点评：
本题考点： 向心力；物体的弹性和弹力；线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 本题是圆锥摆类型，关键是对小球受力分析，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解分析．

（1）设圆锥母线与水平方向的夹角为θ．当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
由平衡条件得
摩擦力的大小：f=mgsinθ=
mgH

H2+R2
支持力的大小：N=mgcosθ=
mgR

H2+R2；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有
mgtanθ=mω²[R/2]
由几何关系得 tanθ=[H/R] 联立解得ω=

2gH
R
答：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力为
mgH

H2+R2，
支持力的大小为
mgR

H2+R2；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度为

2gH
R．

点评：
本题考点： 牛顿第二定律；力的合成与分解的运用；共点力平衡的条件及其应用；向心力．

考点点评： 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．

如图1，
在Rt△OAC中，
OC=OAsin∠OAC=OA•sin45°=

2
2；
如图2，
在Rt△OO′A中，
OA=1，底面周长=O′A×2π=

AB的长=2π×[1/4]，
∴O′A=[1/4]
由勾股定理知，OO′=
OA2-O′A2=
12-(
1
4)2=

15
4，
∵

2
2≠

15
4，
∴吴逸君的说法不正确．

点评：
本题考点： 圆锥的计算．

考点点评： 本题利用了等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的周长公式，弧长公式求解．

（1）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有（或画出受力分析示意图）：
mgtanθ＝mω2•
R
2
由几何关系得：tanθ＝
H
R
联立以上各式解得：
ω＝

2gH
R
（2）如图当ω比较小时，对物体进行受力分析并建立正交坐标系如图所示，则有：Nsinθ−fcosθ＝mω2
R
2
Ncosθ+fsinθ=mg
f=μN
联立以上各式解得ω1＝

2(H−μgR)
R2+μHR
当ω比较大时，摩擦力沿斜面向下，则有：Nsinθ+fcosθ＝mω2
R
2
Ncosθ-fsinθ=mg
f=μN
联立以上各式解得ω2＝

2(H+μgR)
R2−μHR
所以，筒转动的角速度范围为：

2(H−μgR)
R2+μHR≤ω≤

2(H+μgR)
R2−μHR．
答：（1）筒转动的角速度为ω2＝

2(H+μgR)
R2−μHR；
（2）筒转动的角速度范围为：

2(H−μgR)
R2+μHR≤ω≤

2(H+μgR)
R2−μHR．

点评：
本题考点： 向心力；线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 解决本题的关键知道物体做圆周运动向心力的来源，能够正确地受力分析，抓住临界状态，结合牛顿第二定律进行求解．

（1）设圆锥母线与水平方向的夹角为θ．当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
由平衡条件得
摩擦力的大小：f=mgsinθ=
mgH

H2+R2
支持力的大小：N=mgcosθ=
mgR

H2+R2；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有
mgtanθ=mω²[R/2]
由几何关系得 tanθ=[H/R] 联立解得ω=

2gH
R
答：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力为
mgH

H2+R2，
支持力的大小为
mgR

H2+R2；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度为

2gH
R．

点评：
本题考点： 牛顿第二定律；力的合成与分解的运用；共点力平衡的条件及其应用；向心力．

考点点评： 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．

C、两球所受的重力大小相等，支持力方向相同，根据力的合成，知两支持力大小、合力大小相等．故压力相等；故C错误；
A、根据F_合=mrω²，得ω=

F合
mr，r大的角速度小．所以球A的角速度小于球B的角速度．故A错误；
B、根据F_合=m
v2
r得，v=

F合r
m，合力、质量相等，故r大的线速度大，所以球A的线速度大于球B的线速度．故B错误；
D、根据F_合=ma，知向心加速度相等．故D正确；
故选：D．

点评：
本题考点： 向心力．

考点点评： 解决本题的关键知道小球做匀速圆周运动，靠重力和支持力的合力提供向心力．会通过F合=ma=mv2r=mrω2比较线速度、角速度、向心加速度的大小．

设圆锥母线与水平方向的夹角为θ．当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得：
摩擦力的大小：f=mgsinθ=
mgH

R2+H2
支持力的大小：N=mgcosθ=
mgR

R2+H2；
当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有：
mgtanθ=mω²[R/2]
由几何关系得：tanθ=[H/R]
联立解得：ω=

2gH
R
故答案为：
mgH

R2+H2，
mgR

R2+H2，

2gH
R．

点评：
本题考点： 向心力；牛顿第二定律．

考点点评： 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．

小球在光滑圆锥桶内壁受到自身重力竖直向下和内壁支持力垂直内壁向上，如图所示。二力的合力提供向心力，所以小球只受到两个力的作用选项B错。小球在水平面内做匀速圆周运动，所以重力和支持力的合力指向水平面内圆周运动的圆心，选项D错。根据几何关系可得合力选项C错。根据几何关系，小球做圆周运动的半径为，根据合力提供向心力有，计算得，选项A对。

A

A、B、C、对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图
根据牛顿第二定律，有：
F=mgtanθ=ma=m
v2
r=mrω²，
解得 v=
grtanθ，a=gtanθ，ω=

gtanθ
r．
由图知：A球的轨道半径大，则A的线速度大，角速度小，向心加速度相等．故ABC正确误．
B、因为支持力N=[mg/cosθ]，支持力等于球对筒壁的压力，知球A对筒壁的压力一定等于球B对筒壁的压力．故D错误．
故选：ABC．

点评：
本题考点： 向心力．

考点点评： 解决本题的关键知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．

对任一小球受力分析，受重力和支持力，如图，由重力与支持力的合力提供向心力，则

根据牛顿第二定律，有
F=mgtanθ=m
v2
r=mω²r；
则得：v=
grtanθ，ω=

gtanθ
r
因为A球的转动半径r较大，则有：v_A＞v_B，ω_A＜ω_B．
故答案为：＞；＜

点评：
本题考点： 向心力；线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 解决本题的关键知道小球做匀速圆周运动，靠重力和支持力的合力提供向心力．会通过F合=ma=mv2r比较线速度、角速度的大小．

A、对小球受力分析，受重力和支持力，如图

根据牛顿第二定律，有
F=mgtanθ=m
v2
r
解得v=
grtanθ．由于A球的转动半径较大，A线速度较大．故A正确．
B、ω=
v
r＝

gtanθ
r，由于A球的转动半径较大，则A的角速度较小．故B错误．
C、周期T=[2π/ω]，因为A的角速度较小，则周期较大．故C错误．
D、由A选项的分析可知，压力等于[mg/cosθ]，与轨道半径无关．故D错误．
故选：A．

点评：
本题考点： 线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 本题关键是对小球受力分析，知道小球做圆周运动向心力的来源．

设圆锥母线与水平方向的夹角为θ．当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得：
摩擦力的大小：f=mgsinθ=
mgH

R2+H2
支持力的大小：N=mgcosθ=
mgR

R2+H2；
当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有：
mgtanθ=mω²[R/2]
由几何关系得：tanθ=[H/R]
联立解得：ω=

2gH
R
故答案为：
mgH

R2+H2，
mgR

R2+H2，

2gH
R．

点评：
本题考点： 向心力；牛顿第二定律．

考点点评： 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．

对任一小球受力分析，受重力和支持力，如图：

由重力与支持力的合力提供向心力，则根据牛顿第二定律，有：
F=mgtanθ=m
v2
r=mω²r=m（[2π/T]）²r；
则得：
v=
grtanθ，ω=

gtanθ
r，T=2π

r
gtanθ；
因为A球的转动半径r较大，则有：v_A＞v_B，ω_A＜ω_B，T_A＞T_B
故答案为：＞，＜，＞．

点评：
本题考点： 向心力；线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 解决本题的关键知道小球做匀速圆周运动，靠重力和支持力的合力提供向心力；会通过F合=ma=mv2r=mω2r=m（[2π/T]）2r比较线速度、角速度的大小．

筒内壁A点的高度为筒高的一半，根据几何关系可知，物块转动半径r=[R/2＝0.3m，
当摩擦力为0时，物体仅受支持力和重力，其合外力沿水平方向提供向心力，则有：
mω²r=
mg
tanθ]，
解得：ω=5rad/s
答：当物块在高度为筒高一半的平面内运动时的角速度为5rad/s．

点评：
本题考点： 向心力；线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．

对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图

根据牛顿第二定律，有：F_合=mgtanθ，由于质量不等，所以不好判断哪个球对筒壁的压力大，故D错误．
A、两小球所受合力提供圆周运动向心力有mgtanθ＝m
v2
r知，轨道半径大的线速度大，所以球A的线速度大于球B的线速度，故A正确；
B、根据mgtanθ=ma可知，a=gtanθ，相等，故B错误；
C、两小球所受合力提供圆周运动向心力有mgtanθ=m
4π2r
T2知，轨道半径大的周期大，所以A的周期大于B的周期，故C错误．
故选：A．

点评：
本题考点： 向心力；线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 解决本题的关键知道小球做匀速圆周运动，靠重力和支持力的合力提供向心力．会通过F合=ma=mv2r=mω2r比较线速度、角速度、向心加速度的大小．

对小球受力分析，受重力和支持力，如图

根据牛顿第二定律，有，解得，由于A球的转动半径较大，故线速度较大，故A正确；，由于A球的转动半径较大，故角速度较小，故B正确；，由于A球的转动半径较大，故周期较大，故C错误；由A选项的分析可知，压力等于，与转动半径无关，故D错误；

故选AB.

AB


<>

D、两球所受的重力大小相等，支持力方向相同，根据力的合成，知两支持力大小、合力大小相等，故D错误．
A、根据得F_合=
mv2
r，合力、质量相等，r越大线速度大，所以球A的线速度大于球B的线速度，故A错误；
B、F_合=mω²r合力、质量相等，r越大角速度越小，A球的角速度小于B球的角速度．故B错误；
C、F_合=m
4π2
T2r合力、质量相等，r越大，周期越大，A周期大于B周期．故C正确．
故选：C．

点评：
本题考点： 线速度、角速度和周期、转速．

考点点评： 解决本题的关键知道小球做匀速圆周运动，靠重力和支持力的合力提供向心力．会通过F合=mv2r=ma=mω2r=m4π2T2r比较线速度、角速度、周期的大小．

（1）设圆锥母线与水平方向的夹角为θ．当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
由平衡条件得
摩擦力的大小：f=mgsinθ=
mgH

H2+R2
支持力的大小：N=mgcosθ=
mgR

H2+R2；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有
mgtanθ=mω²[R/2]
由几何关系得 tanθ=[H/R] 联立解得ω=

2gH
R
答：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力为
mgH

H2+R2，
支持力的大小为
mgR

H2+R2；
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度为

2gH
R．

点评：
本题考点： 牛顿第二定律；力的合成与分解的运用；共点力平衡的条件及其应用；向心力．

考点点评： 本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．

A、以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示：
由牛顿第二定律得：mgtanθ=m
v2
r=mrω²=ma，
解得：v=
grtanθ，ω＝

gtanθ
r，a=gtanθ，
因为A的半径大，则A球的线速度大于B球的线速度，A球的角速度小于B球的角速度，两球的向心加速度相等．故A正确，B、C错误．
D、根据平行四边形定则知，球受到的支持力为：FN＝
mg
sinθ，可知两球受到的支持力相等，则两球对桶壁的压力相等．故D错误．
故选：A．

点评：
本题考点： 向心力；牛顿第二定律．

考点点评： 本题关键是对小球受力分析，知道向心力的来源，然后根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解分析．

由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则[1/2]×2π×2=2π r，
∴r=1，这个圆锥筒的高为：
22−1=
3，
这个圆锥筒的容积为：
1
3π•12×
3=

3π
3．
故答案为：

3π
3．

点评：
本题考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

考点点评： 本题考查圆锥的体积的计算公式，半圆的弧长与圆锥的底面周长间的关系．