求欧拉积分的详细证明，要详细

a>0.
a>=1的时候,要看x趋于无穷的情况,此时x^(a-1)比起e^x,都是无穷小,而e^x*e^(-x^2)显然是收敛的.
a

还有上下限-∞到+∞：利用二重积分方法
K = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
K² = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx * ∫(-∞→+∞) e^(- y²) dy
= ∫(-∞→+∞) ∫(-∞→+∞) e^(- x² - y²) dxdy,极坐标换元
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→+∞) e^(- r²) * r dr
= 2π * (- 1/2)[e^(- r²)]：(0→+∞)
= 2π * (- 1/2)(0 - 1)
= π
于是得K = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx = √π

令sinx＝根号(t),t从0到1,x＝arcsin(根号(t)),dx＝0.5t^(－1/2)（1－t)^(－1/2)dt,
因此化为0.25×积分（从0到1）lnt *t^(－1/2)*(1－t)^(－1/2)dt
＝0.25×aB(p,q)/ap| (p=1/2,q＝1/2)
上式表示B(p,q)对p求偏导数后在p＝1/2,q＝1/2处取值.

设M=∫【0,л/2】lnsinxdx（注：【0,л/2】表示积分区间是从0到л/2,以下类同.）
令x=2t.
则M=2∫【0,л/4】lnsin2tdt=2∫【0,л/4】ln(2sintcost)dt
=2∫【0,л/4】ln2dt+2∫【0,л/4】lnsintdt+2∫【0,л/4】lncostdt
而对于N=∫【0,л/4】lncostdt,令t=л/2-u.
则有N=∫【л/2,л/4】lnsin(л/2-u)(-du)=∫【л/4,л/2】lncosudu
=∫【л/4,л/2】lncostdt
∴M=2∫【0,л/4】ln2dt+2∫【0,л/4】lncostdt+2∫【л/4,л/2】lncostdt
=(лln2)/2+2∫【0,л/2】lncostdt=(лln2)/2+2∫【0,л/2】lnsintdt=(лln2)/2+2M
∴M=(-лln2)/2.

Integrate[f(x),{x,0,1}],表示f(x)在积分区间0-1的值
Integrate[arcsin[x]/x,{x,0,1}]
=Integrate[arcsin[x]*(ln(x)'),{x,0,1}]
=ln(x)*arcsin(x)[0,1]-Integrate[(arcsin[x])'*ln(x),{x,0,1}]
=-Integrate[ln(x)/Sqrt(1-x^2),{x,0,1}] 令x=sin(y)
=-Integrate[ln(sin(y)),{y,0,Pi/2}]
=Pi*ln2/2