求不定积分dx/(3x^2-1)请老师详细一点谢谢

因为分母的导数等于分子,即（2x^2+x+1)'=4x+1
(4x+1)dx/2x^2+x+1
=(2x^2+x+1)'dx/2x^2+x+1
=d(2x^2+x+1)/2x^2+x+1
=ln/2x^2+x+1/+C 这里/2x^2+x+1/是2x^2+x+1的绝对值

答：
∫ {1/[x√(1-x^2)]} dx 设x=sint,-π/2

既然满足三次方根x,又要满足二次方根x,当然是它们的最小公倍数6
令x = u^6,dx = 6u^5 du
∫ dx / (x^1/3 + x^1/2) dx
= ∫ 6u^5 / [(u^6)^1/3 + (u^6)^1/2] du
= 6∫ u^5 / (u² + u³) du
= 6∫ u³ / (1 + u) du
= 6∫ [u² - u - 1/(u+1) + 1] du
= 6[u³/3 - u²/2 - ln|u+1| + u] + C
= 2u³ - 3u² - 6ln|1+u| + 6u + C
= 2√x - 3x^(1/3) + 6x^(1/6) - 6ln|1+x^(1/6)| + C
PS：x^(1/n)是n次方根x,所以x^(1/6)是6次方根x

dx/[1/16(sin2x)^3(cos2x+1)]=16sin2xdx/[(sin2x)^4(cos2x+1)]=-8dcos2x/[(1-cos2x)^2(1+cos2x)]
设y=cos2x
dy/(1-y)^2(1+y)=dy/4(1+y)+dy/2(1-y)^2+dy/4(y-1)=1/4ln|y+1||y-1|-1/2(y-1)+c
原题＝2ln(sin^2(2x))+4/(cos2x-1)+c

令(e^x+1)^1/2=t,x=ln(t^2-1),dx=2tdt/(t^2-1)
∫dx/(e^x+1)^1/2
=∫2dt/(t^2-1)
=∫[1/(t-1)-1/(t+1)]dt
=ln(t-1)-ln(t+1)+C
自己反代吧

先用和差化积,把cos3x+cosx弄成
cos(2x+x)+cos(2x-x)=2cos2xcosx=2
∫dx/2cos2xcosx=∫cosxdx/2cos2x*(cosx)^2
=∫d(sinx)/2(1-2(sinx)^2)(1-(sinx)^2)
这样就变成了一个有理函数积分的问题
设u=sinx,即
（1/2）∫du/(2u^2-1)(u^2-1)
=（1/4）∫du/(u+√2/2)(u-√2/2)(u+1)(u-1)
接下来就是计算了,你自己算吧