设f(x)=∫（上2,下f(x)）sint^2dt,其中f(x)为可导函数,F'(X)=

简单 sint^2=（1-2cos(2t))/2
[∫(上限x,下限0） sint^2dt]=x/2-(sin(2x))/4
泰勒展开式 0附近sin(2x)=2x-(4/3)x^3+o(x^3)
[∫(上限x,下限0） sint^2dt]/x^2 =(-x)/3+o(x)
lim(x→0) =0
第二个有些含糊 2+sinx是分子还是sinx是分子
不过无所谓,反正求∫(1,-1)sinx/根号(4-X^2) dx 就可以了
如果是2+sinx是分子 加∫(1,-1) （2/根号(4-X^2)） dx
如果是sinx是分子 加∫(1,-1)2dx
这两个楼主会算吧
现在算∫(1,-1)sinx/根号(4-X^2) dx sinx/根号(4-X^2) 奇函数
(1,-1)上=0
结束!

12

如图中

积分项与x无关,对x求导结果为0.

Φ(x) = ∫(x²→1) sin(t²) dt
Φ'(x) = 0 - (x²)'sin[(x²)²]
= - 2xsin(x⁴)

对积分上限函数求导,
就把积分的上限代入积分函数中,
再乘以对积分上限的求导即可,
那么在这里,
d/dx[∫(上限x^3 下限0 )sint^2dt]
= sin(x^3)^2 * d(x^3) /dx
=sin(x^3)^2 * 3x^2

1/3
先用洛必达法则 对分子 分母同时求导
得 Limsinx^2/3x^2
当x-》0时 sinx^2/x^2=1
所以为1/3

d/dx ∫(0,x²) sin(t²) dt
= (x²)' * sin(x²) - (0)' * sin(0²)
= (2x)sin(x²)

拆成f(x)=∫sint^2dt （上限为x^2,下限0） + f(x)=∫sint^2dt （上限为0,下限2x）两个区间积分
=∫sint^2dt （上限为x^2,下限0） - f(x)=∫sint^2dt （上限为2x,下限0）两个区间积分
,再对两部分分别求导得2x*(sin(x^2))^2-2*(sin(2x))^2

∵sin²t=(1-cos2t)/2
∴∫sin²tdt=∫((1-cos2t)/2)dt=t/2-1/2∫cos2tdt=t/2-(sin2t)/4+C
∴∫(上限1,下限x²)sin²tdt=[1/2-(sin2)/4]-[x²/2-(sin2x²)/4]
即Φ(x)=[1/2-(sin2)/4]-[x²/2-(sin2x²)/4]