设P,Q,R是等轴双曲线上的任意三点,求证,三角形PQR的垂心H必在同一等轴双曲线上.（用参数方程解）

丽颖2022-10-04 11:39:541条回答

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candy糖果店共回答了20个问题 | 采纳率85%: 参数方程可设为x = a/cos(t),y = a·tan(t).
并设P,Q,R分别对应t = 2p,2q,2r.
PQ斜率为(tan(2q)-tan(2p))/(1/cos(2q)-1/cos(2p))
= (cos(2p)sin(2q)-cos(2q)sin(2p))/(cos(2p)-cos(2q))
= sin(2q-2p)/(cos(2p)-cos(2q))
= 2sin(q-p)cos(q-p)/(2sin(q+p)sin(q-p))
= cos(q-p)/sin(q+p).
设b = cos(p)cos(q)cos(r)+cos(p)sin(q)sin(r)+sin(p)cos(q)sin(r)+sin(p)sin(q)cos(r),
c = sin(p)sin(q)sin(r)+sin(p)cos(q)cos(r)+cos(p)sin(q)cos(r)+cos(p)cos(q)sin(r).
取s = arctan(-b/c),则b·cos(s)+c·sin(s) = 0.
该式可变形为:cos(q-p)cos(s-r)+sin(q+p)sin(s+r) = 0 ①,
cos(p-r)cos(s-q)+sin(p+r)sin(s+q) = 0 ②,
cos(r-q)cos(s-p)+sin(r+q)sin(s+p) = 0 ③.
取S为曲线上对应t = 2s的点,可知RS斜率为cos(s-r)/sin(s+r).
而由①可得RS ⊥ PQ,同理②保证QS ⊥ RP,而③保证PS ⊥ QR.
因此S就是△PQR的垂心H,故H也在曲线上.; 1年前

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由题意，等轴双曲线的离心率为
2．
∵双曲线C：
x2
4−
y2
m=1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，
∴[4+m/4]＞2，
∴m＞4，
∴实数m的取值范围是（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．

点评：
本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

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a=√2 c=1
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别怕计算麻烦,把MA和MB实现表达出来,能算出A和B的坐标,再表达出直线AB吧k1或者k2带掉,然后化简出k1乘……+……,这个……中有x和y,把它都等于0,解二元一次方程就行了,得出来肯定是x=-1/2 y=-1

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平行于双曲线渐近线的直线与双曲线只能相交于一点（不是切点,切点可看作二重合交点）,不能相切
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解题思路：利用等轴双曲线的定义，可得sinα=cosα，所以tanα=1，结合0≤α＜2π，可求角α的值．
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∴sinα=cosα
∴tanα=1
∵0≤α＜2π
∴角α的值为
π
4或
5π
4
故选C．

点评：
本题考点：双曲线的标准方程．

考点点评：本题以双曲线为载体，考查等轴双曲线的定义，考查三角函数，属于基础题．

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若等轴双曲线上有一点P到中心的距离为d，那么点P到两个焦点的距离之积为______． wsimu1年前1: 鸭在水中游共回答了21个问题 | 采纳率85.7%

解题思路：由“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”得：4d2+4c2＝2(|PF1|2+|PF2|2)，及等轴双曲线的离心率，再由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂||=2a，根据两式的关系换算，从而求出|PF₁||PF₂|的值．
由“平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和”知：
4d2+4c2＝2(|PF1|2+|PF2|2)，
由于等轴双曲线的离心率为
2，
则
c
a＝
2，
2d2+4a2＝|PF1|2+|PF2|2，①
|PF₁|-|PF₂||=2a，
4a2＝|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|，②
由①②得：|PF₁||PF₂|=d²
故答案为：：|PF₁||PF₂|=d²
点评：
本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题考查的知识点：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，等轴双曲线的离心率，双曲线的定义及相关的运算问题．

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已知等轴双曲线x2-y2=r2上的点M在x轴上的射影是N，则线段MN的中点P的轨迹方程是______． liuxian3331年前1: andyexn 共回答了13个问题 | 采纳率76.9%

解题思路：设出线段MN的中点P的坐标，求出M的坐标，通过M在等轴双曲线x²-y²=r²上，求出线段MN的中点P的轨迹方程．
设线段MN的中点P（x，y），所以M的坐标为（x，2y），
因为M在等轴双曲线x²-y²=r²上，所以x²-（2y）²=r²，
所以线段MN的中点P的轨迹方程：x²-4y²=r²．
故答案为：x²-4y²=r²．

点评：
本题考点：圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评：本题是中档题，考查动点的轨迹方程的求法，相关点法是求轨迹方程的常用方法，注意掌握．

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解题思路：通过双曲线的焦点在x轴与y轴，分别设出双曲线方程，利用点在双曲线求解双曲线方程即可．
当焦点在x轴时，设双曲线的标准方程为
x2
a2−
y2
a2＝1，
把A（3，-1）代入方程得
9
a2−
1
a2＝1，a²=8，
∴双曲线的标准方程为
x2
8−
y2
8＝1．（4分）
当焦点在y轴时，设双曲线的标准方程为
y2
a2−
x2
a2＝1，
把A（3，-1）代入方程得
1
a2−
9
a2＝1，a²=-8，这种情况不存在．（6分）

点评：
本题考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．

考点点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．

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<>

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x^2-y^2=m
y=x/2
代入
x^2-x^2/4=m
3x^2-4m=0
x1+x2=0,x1*x2=-4m/3
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16m/3
AB在y=x/2上
所以(y1-y2)^2=(x1/2-x2/2)^2=(x1-x2)^2/4=4m/3
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　　解；(1)由双曲线定义得渐近线方程Y=(b/a)X
　　因为为等轴双曲线所以b=a
　　所以渐近线方程为Y=X
　　设F（c,0）据点F（c,0）到线X-Y=0的距离公式得d1=c/(根号2）
　　据题意,画图可得角OPF=90度 OF=c OP=根号2
　　所以勾股定理可得 OP平方+PF平方=OF平方
　　即2+c平方/2 =c平方所以c平方=4 因为c平方=a平方+b平方=2a平方
　　所以a平方=2 所以此等轴双曲线表达式为； X平方--Y平方=2

　　（2）由(1）得F(2,0) 设过F点的线上一点为E（x,y）
　　因为过点F且方向向量为d=（1,2）, 所以E（3,2）
　　所以过点F且方向向量为d=（1,2）的直线l为 y=2x--4

　　 X平方--Y平方=2 .[1] y=2x--4.[2]
　　将直线l[2]与等轴双曲线方程[1]联立得设A（x1,y1) B(x2,y2)
　　 3（x平方）--16x+18=0 x1=（8+根号10）/3 x2=（8--根号10）/3
　　 3（y平方）--8x--8=0 y1=（4+2根号10）/3 y2=（4--2根号10）/3
　　所以OA =根号【（130+32根号10）/9】 OB=根号【（130--32根号10）/9】
　　求OA和OB的模长之积 ( OA)乘以（OB)=（2根号1665）/3

以上为本人见解,如有错误之处,很乐意接受你的指正,可能会有点复杂,但如有较简便的方法,希望大家教一教,

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求证等轴双曲线的两条渐近线互相垂直 求证等轴双曲线的两条渐近线互相垂直 RT sophia15541年前1: 东走西看的人共回答了10个问题 | 采纳率90%

设等轴双曲线方程为x^2/a^2-y^2/a^2=1
它的渐近线方程为
y=x 或y=-x
则它的斜率为k1=1 k2=-1
则有k1*k2=-1
即y=x与y=-x互相垂直
所以等轴双曲线的两条渐近线互相垂直

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等轴双曲线C的中心在坐标原点O,两个焦点F1,F2在X轴上,双曲线C经过第一象限的一点A,使得AF1垂直AF2,且三角 等轴双曲线C的中心在坐标原点O,两个焦点F1,F2在X轴上,双曲线C经过第一象限的一点A,使得AF1垂直AF2,且三角 等轴双曲线C的中心在坐标原点O,两个焦点F1,F2在X轴上,双曲线C经过第一象限的一点A,使得AF1垂直AF2,且三角形AF1F的面积是8 求双曲线方程 wan_ch1年前1: softsnow2008 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

双曲线焦点三角形面积=b^2cot（α/2）=8
∴b^2=8
双曲线方程:x^2/8-y^2/8=1

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求证离心率为根号2的双曲线是等轴双曲线 胡精1年前1: tszlh 共回答了16个问题 | 采纳率81.3%

等轴顾名思义实轴长等于虚轴长
e=√2 <==> a^2 + b^2=2a^2
所以a^2=b^2
所以a=b
所以实轴长等于虚轴长
所以双曲线为等轴双曲线
【我用手机打的看不到追问,楼主有问题请打在问题补充里】

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等轴双曲线的一个焦点是F1(-6.0),求他的标准方程,离心率,准线和渐进线方程 等轴双曲线的一个焦点是F1(-6.0),求他的标准方程,离心率,准线和渐进线方程 急 A200123101年前1: BOBO_爱包共回答了11个问题 | 采纳率90.9%

焦点在X轴上,设等轴双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/a^2=1,
a^2+a^2=(-6)^2,
2a^2=36,a=3√2,
标准方程为:x^2/18-y^2/18=1,
离心率e=c/a=6/(3√2)=√2,
准线方程为:x=±a/e=±(3√2)/√2,
x=±3.
渐近线方程:y=±(3√2)/(3√2),
:y=±1.

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.求等轴双曲线的实轴长已知等轴双曲线C的两个焦点F1,F2在直线Y=X上,线段F1F2的中点实坐标的原点,双曲线过点(3 .求等轴双曲线的实轴长 已知等轴双曲线C的两个焦点F1,F2在直线Y=X上,线段F1F2的中点实坐标的原点,双曲线过点(3,3/2),求XY=9/2双曲线的实轴长. sfbound11年前1: ramiel 共回答了23个问题 | 采纳率95.7%

3,3/2

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设AB是垂直于等轴双曲线C的实轴所在的直线的一条弦,MN是该双曲线的两个顶点,求角AMB+角ANB大小 andyou661年前1: 睿化著鸿明共回答了21个问题 | 采纳率100%

等轴双曲线C不妨设为x^2-y^2=1,再设A（2.根号3）.B（2,-根号3）、假设AB与X轴交与H.AH/MH=根号3/3,即角AMH=30,于是角AMB=60,同理AH/NH=根号3.即角ANH=60,ANB=120.所以角AMB+角ANB=180

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在线求指导：等轴双曲线的一个焦点 在线求指导：等轴双曲线的一个焦点 等轴双曲线的一个焦点是F ₁ （4,0）,则它的渐近线方程为（）. sd1d2me1年前0: 共回答了个问题 | 采纳率

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一道数学题.等轴双曲线的一个焦点F（4,0）求标准方程离心率渐近线 jianing19781年前1: 3fva 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

渐近线 x-y=0 和 x+y=0
离心率根号2

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求以坐标轴为对称轴,且两准线间的距离为2倍根号2的等轴双曲线的方程 孤单候鸟1年前1: 小4儿共回答了7个问题 | 采纳率100%

且两准线间的距离=2a^2/c=2倍根号2
等轴双曲线 a=b
又 a^2+b^2=c^2
c^2=2a^2
c^2/c=2倍根号2
c=2倍根号2
a=b=2
如果焦点在x轴上,则 x^2/4-y^2/4=1
如果焦点在y轴上,则 y^2/4-x^2/4=1.

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【等轴双曲线问题】1.为什么等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项.2. 【等轴双曲线问题】1.为什么等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项.2. 1.为什么等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项. 2.等轴双曲线的方程一定是x²－y²=a²,不能是y²－x²=a²吗? 有图就更好了, 真明白1年前1: loveloverainie 共回答了25个问题 | 采纳率76%

2.等轴双曲线的方程一定是x²－y²=a²,不能是y²－x²=a²吗?正确,可以统一为x^2-y^2=k,k不为1.1为什么等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项.
这个证明只要按它的意思,一步一步做下去就可以了,
取点,设坐标,求出焦点,在求距离,注意要用到点在曲线上,就可以证出来了.
具体你自己写一写,

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设P是等轴双曲线x2-y2=a2(a>0)右支上一点,F1,F2是其左,右焦点,若角PF2F1=90度,PF1=6,则a 设P是等轴双曲线x2-y2=a2(a>0)右支上一点,F1,F2是其左,右焦点,若角PF2F1=90度,PF1=6,则a=? 贼蔻十四1年前1: maoth 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%

根据椭圆的定义
PF1-PF2=2a；
那么PF2=6-2a；
根据勾股定理
PF2²+F1F2²=PF1²
其中F1F2=2c
题目中是等轴双曲线,就有c²=a²+a²=2a²
也就是
8a²+(6-2a)²=36
a=2
a²=4
方程就是
x²-y²=4
一开始看错了,以为是F1PF2是90度.

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与椭圆x25+y23＝1共焦点的等轴双曲线的方程为______． 2522439141年前1: 1a1b1c1d 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

解题思路：利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．
对于
x2
5+
y2
3＝1知半焦距为c＝
5−3＝
2
所以双曲线的焦点为（±
2，0）
设等轴双曲线的方程为
x2
a2−
y2
a2＝1
据双曲线的三参数的关系得到2a²=2
所以a²=1
所以双曲线的方程为x²-y²=1．
故答案为：x²-y²=1

点评：
本题考点：双曲线的标准方程；圆锥曲线的共同特征．

考点点评：本题考查椭圆中三参数的关系为：a2=b2+c2；双曲线中三参数的关系为：c2=a2+b2．注意两个关系的区别．

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已知等轴双曲线x 2 -y 2 =r 2 上的点M在x轴上的射影是N，则线段MN的中点P的轨迹方程是______． tt原1年前1: ygvjyi 共回答了18个问题 | 采纳率100%

设线段MN的中点P（x，y），所以M的坐标为（x，2y），
因为M在等轴双曲线x² -y² =r² 上，所以x² -（2y）² =r² ，
所以线段MN的中点P的轨迹方程：x² -4y² =r² ．
故答案为：x² -4y² =r² ．

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求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数 为什么我算下来等于 0 呢? 别人算下来都是(a^2)/2 cstj241年前2: 非谈32 共回答了19个问题 | 采纳率84.2%

请参照我下面的回答看看你的问题吧
设等轴双曲线的方程为：x²/a²-y²/a²=1,
即x²-y²=a²
两条渐进线方程分别为y=-x===>x+y+0=0和y=x===>x-y+0=0,
设双曲线上任意一点M（x0,y0）,点M到两渐进线的距离分别为：
d1=|x0+y0|/√(1+1),d2=|x0-y0|/√(1+1),
则,d1*d2=（x0²-y0²）/2,而x0,y0满足双曲线方程,∴x0²-y0²=a²,
∴d1*d2=a²/2=常数

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求经过点A（3，-1），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线的方程______． kiulight1年前1: xiaoyong79 共回答了26个问题 | 采纳率92.3%

解题思路：设等轴双曲线的方程为x²-y²=λ≠0．把点A（3，-1）代入解得λ即可．
设等轴双曲线的方程为x²-y²=λ≠0．
把点A（3，-1）代入可得：9-1=λ，解得λ=8．
∴要求的等轴双曲线的方程为x²-y²=8．
故答案为x²-y²=8．

点评：
本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：熟练掌握等轴双曲线的标准方程是解题的关键．

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求以坐标轴为对称轴且过点(4,-根号10)的等轴双曲线方程 yan_yyy1年前3: cyanofish 共回答了20个问题 | 采纳率90%

设符合题设要求的等轴双曲线的方程为：x^2-y^2=±a^2.
∵点(4,-√10)在双曲线上,∴4^2-(-√10)^2=±a^2.
∴±a^2=16-10=6.
∴x^2-y^2=6. -----即为所求.

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设P,Q,R是等轴双曲线上的任意三点,求证,三角形PQR的垂心H必在同一等轴双曲线上.（用参数方程解）

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