∠B=90°,AB=BC=4,AD=2,CD=6.把△ACD沿直线AC向下翻折,C D'交AB于点E.若△ACE面积为4

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。
（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D ₁ （0，0，0）、O ₁ （2，2，0）
B ₁ （4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、
F（0，4，4）。
=（-4，4，-4）， =（0，4，4），
=（-4，0，4）
=0+16-16=0， =16+0-16=0
∴AF⊥平面FD ₁ B ₁ .
证法二：连结BF、DF，则BF是AF在面BC ₁ 上的射影，易证得BF⊥B ₁ F，
DF是AF在面DC ₁ 上的射影，也易证得DF⊥D ₁ F，所
以AF⊥平面FD ₁ B ₁ .
（Ⅱ）解法一： =（2，4，0）， =（-2，2，4）
设 与 的夹角为 ，则
= ……
解法二：在B ₁ C ₁ 上取点H，使B ₁ H=1，连O ₁ H和FH。
易证明O ₁ H∥EB，则∠FO ₁ H为异面直线EB与 F所成角。
又O ₁ H= BE= ，HF= =5，
O ₁ F= =2 ，
∴在△O ₁ HF中，由余弦定理，得

cos∠FO ₁ H= =

（1）证明：∵BD=CD=2
2，BC=4，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，
又CE不包含于平面ABD，BD⊂平面ABD，
∴CE∥平面ABD．
（2）∵二面角A-BD-C的大小为90°，AD⊥BD，
∴AD⊥平面BDC，又由（1）知BD⊥CD，
以D为原点，DB、DC、DA分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，又CE⊥CD，
∴CE⊥面ACD，又CE⊂平面ACE，
∴平面ACE⊥平面ACD，设AC中点为F，
连结DF，则DF⊥AC，且DF=2，DF⊥ACE，
由（1）知BD＝CD＝AD＝2
2，
B（
2，2
2，0），C（0，2
2，0），
A（0，0，2
2），F（0，
2，
2），
∴平面ACE的法向量

DF＝(0，
2，
2)，
同理，取ADE的法向量

n＝(2，1，0)，
cos＜

n，

DF＞=

2
2
5=

10
10．
∴二面角C-AE-D的大小为arccos

10
10．

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

（1）VB1−ABC1=VC1−ABC=[1/3•
1
2•4•4•3=8．
（2）取BC的中点P，连接MP、NP，则MP∥BB₁，

∴MP⊥平面ABC，又NP⊂平面ABC，
∴MP⊥NP，MN与底面所成的角为∠MNP
∵PN=2，MP=3，
∴MN=
4+9]=
13．
∵NP=2，
∴tan∠MNP=[3/2]，
∴∠MNP=arctan[3/2]．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，根据线面夹角的定义，求出线面夹角是解答本题的关键．

连接AD,AC,
三角形AED是等腰钝角三角形,∠ADE=30`,面积为根号3；
∠ADC=90`,三角形ACD是直角三角形,面积为2倍根号3；
三角形ABC是等边三角形,面积为4倍根号3
则总面积为7倍根号3

（1）过点A作AD⊥OC于D，过点B作BE⊥OC于E，
则AD=OA•sin60°=2
3，OD=OA•cos60°=2，
∴OE=2+4=6，
∴A(2，2
3)，B(6，2
3)；

（2）当t=
3时，OQ=
3PQ=OQ•tan60°=3，
∴S_△POQ=[1/2]OQ•PQ=
3
3
2；

（3）由已知得OQ=t，
当0≤t≤2时，点P在OA上，PQ＝OQ•tan60o＝
3t，
∴S＝
1
2OQ•PQ＝
1
2t•
3t＝

3
2t2，
当2＜t≤6时，点P在AB上，
由已知得AP=t-2，
∴S=[1/2]（AP+OQ）•AD=[1/2]（t-2+t）×2
3=2
3t-2
3，
当6＜t≤8时，点P在BC上，
由已知得CQ=8-t，
∴PQ＝CQ•tan60o＝
3(8−t)，
∴S＝SOABC−S△PCQ＝
1
2(4+8)•2
3−
1
2(8−t)•
3(8−t)＝−

3
2(t−8)2+12
3，
∴S=



3
2t2(0≤t≤2)
2
3t−2
3(2＜t≤6)
−

3
2(t−8)2+12
3(6＜t≤8)．

点评：
本题考点： 一次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了一次函数的综合应用以及解直角三角形等知识，注意分段函数的求法应借助于自变量的取值范围来确定，根据自变量的取值范围分别得出函数解析式是解题关键．

（Ⅰ）取DS中点为G，连接GE，GF，则GE∥BD，
∵EF⊥BD，∴GE⊥FE，
取AS的中点H，连接BH，取GM=BF，则设BF=x，
∵△SAB是正三角形，四边形ABCD为正方形，AB=BC=4，
∴GF²=（2-x）²+（2
3）²=（2
2）²+2²+x²，
∴x=1；
（Ⅱ）当点F在线段BC中点时，S_△AFB=[1/2]•4•2=4，
△EAF中，AE=2
3，EF=2
2，AE⊥EF，S_△EAF=[1/2]•2
3•2
2=2
6，
∴cosθ=
4
2

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评： 本题考查面面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

P与C₁重合时有AP⊥平面A₁BD，
证明如下，
连接AC交BD于O，连接AC₁，
∵AB=BC，四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵CC₁⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，
∴CC₁⊥BD，
∵CC₁⊂平面ACC₁，AC⊂平面ACC₁，CC₁∩AC=C，
∴BD⊥平面ACC₁，
∵AC₁⊂平面ACC₁，
∴BD⊥AC₁，
同理AC₁⊥A₁B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，
P与C₁重合，
∴AP⊥平面A₁BD．

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查了线面垂直的判定定理和线面垂直的性质．解题的关键找到与面垂直的直线．

根据题意得：当点P在ED上运动时，S=[1/2]BC•PE=2t；
当点P在DA上运动时，此时S=8；
当点P在线段AB上运动时，S=[1/2]BC（AB+AD+DE-t）=20-2t；
结合选项所给的函数图象，可得B选项符合．
故选B．

点评：
本题考点： 动点问题的函数图象．

考点点评： 本题考查了动点问题的函数图象，解答该类问题也可以不把函数图象的解析式求出来，利用排除法进行解答．

（1）证明：在Rt△ABC中，EF∥BC，
∴EF⊥AB．
∴EF⊥EB，EF⊥EP．
又∵EB∩EP=E，
∴EF⊥平面PEB．
又∵PB⊂平面PEB，
∴EF⊥PB．

（2）过点P作PD⊥EB交EB于D，连接DC．
∵EF⊥平面PEB，PD⊂平面PEB，
∴EF⊥PD．
∵EF∩EB=E，
∴PD⊥平面BCFE．
∴CD是PC在平面BCFE内的射影．
∴∠PCD是PC与平面BCFE所成的角．
∵点E为线段AB的中点，AB=BC=4，
∴PE=EB=2．
∵EF⊥EB，EF⊥EP，
∴∠PEB是二面角P-EF-B的平面角．
∵二面角P-EF-B的大小为60°，
∴∠PEB=60°．
在Rt△PDE中，PD=PE•sin60°=
3，DE=PE•cos60°=1
∴BD=1．
在Rt△DBC中，DC＝
12+42＝
17．
∴在Rt△PCD中，tan∠PCD＝
PD
DC＝

51
17．
∴PC与平面BCFE所成角的大小为arctan

51
17．

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面所成的角，以及二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．