用留数定理求复积分：怎么变换成积分上下限为0~2π的那种形式的积分?

1、直接用Cauchy积分公式：积分值
＝2pi*i*(cosz)'|z＝i
＝2pi*i*(－sini)
=pi*i*(e－1/e).
2、z＝e^(ia),dz＝ie^(ia)da＝izda,即da＝dz/(iz).
sina=(z－1/z)/2i,代入得积分值 （记C是单位圆周）
＝在C上的积分【1/(5+3(z－1/z)/(2i))】dz/(iz)
＝在C上的积分【2/(3z^2+10iz－3)】dz
＝在C上的积分【2/(3z+i)(z+3i)】dz,
注意到分母＝0的两个根只有z＝－i/3在单位圆内,因此
被积函数写为[2/(z+3i)]/(3z+i),分子在单位园内是解析的,
利用Cauchy积分公式得积分值
＝2pi*i*[2/(z+3i)]|(z＝－i/3)
＝2pi*i*2/(3i－i/3)
＝3pi/2.
ps:分数不需要,只要采纳就行.

∫(sinx/√x)dx 不可积,把√x转换成t>0,对t积分,积不出,无穷大
分子用泰勒公式转换成x的多项式（如果不是x的整次方形式可以把含x项次数的x次最大公约数作为换元单位）,一般说如果x次数大于0,会积出正负无穷大.
∫(sinx/x)dx从1 到正无穷可积,值为π/2,绝对值不可积.不能从0积.

注意这个定理的条件有个不成立：“当z在上半平面及实轴上趋近于无穷时,z*f(z)一致地趋近于零”
e^(-x^2)在x沿着虚轴正向趋于无穷的时候,是发散到无穷大的.
建议在理解这个定理的时候,可以结合扩充复平面的知识加深理解.

复变数函数f（z）在点a的某去心邻域0＜z-a＜R内解析,即f（z）以有点a为孤立奇点,
复积分(1/2πi)∮f（z）dz（积分曲线是圆z-a=r,0＜r＜R）叫做f（z）在点a的留数记为Res[f（z）,a].
留数定理是说,复变数函数f（z）在周线或者复周线所围的区域内有有限多个孤立奇点,并且连续到区域边界的周线上,则f（z）的大范围积分等于在这有限个孤立奇点的留数和乘上因子2πi.

留数就是洛朗级数的-1次幂项（洛朗级数即泰勒级数包含负幂项的情况）,可以用来计算一些函数的积分,这个光学高等数学应该是不知道的…复变函数里
这道题首先将cosθ用欧拉公式变换,cosθ=1/2×(z+z^-1) (Z为复数)
积分0-2π就变为封闭回路积分（∮|z|=-1）dz/(iz)中间不好写我就不写了,自己带入 后面你大概看不懂了我就随便写点算了
在积分区域|z|=1内的奇点(即分母为0)为1/3,且为一阶奇点
于是由留数：Resf（1/3）=-1/4i 如果没算错
由留数定理得原积分=2πi×Res=1/2×π
大概是这答案吧,没细看,总之就是这么算的,
留数即带单极点入刚才的被积式子×（z－z0）z0趋近于1/3,约掉使分母为零的