已知函数f(x)＝1−ax+ln1x（a为实常数）．

解题思路：（Ⅰ）求出函数定义域，当a=1时求出g′（x），只需解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可．
（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）上无极值，则f′（x）≥0或f′（x）≤0，由此即可求出a的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=0，得f（x）=1−

1

x

+ln

1

x

≤0≤0，即ln[1/x]≤

1−x

x

，令x=[n+1/n]适当变形即可证明．

（I）当a=1时，g(x)＝1−2x−
1
x+ln
1
x，其定义域为（0，+∞），g′（x）=-2+[1
x2−
1/x]=
−2x2−x+1
x2＝
−(2x−1)(x+1)
x2，，
令g′（x）＞0，并结合定义域知x∈(0，
1
2)； 令g′（x）＜0，并结合定义域知x∈(
1
2，+∞)；
故g（x）的单调增区间为（0，[1/2]）；单调减区间为(
1
2，+∞)．
（II）f′(x)＝
a
x2−
1
x＝
a−x
x2，
（1）当f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立时，a≤0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值；
（2）当f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立时，a≥2，此时f（x）在（0，2）上单调递增，无极值．
综上所述，a的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f′（x）=[1−x
x2，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）=1−
1/x+ln
1
x]在x=1处取得最大值0．
即f（x）=1-[1/x+ln
1
x≤0，
∴ln
1
x≤
1−x
x]，令x=[n/n+1]（0＜x＜1），则ln
n+1
n＜
1
n，即ln（n+1）-lnn＜
1
n，
∴ln[n+1/3]=ln（n+1）-ln3=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln4-ln3）
＜[1/n+
1
n−1+
1
n−2+…+
1
3]．
故ln
n+1
3＜
1
3+
1
4+
1
5+…+
1
n．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数最值问题，考查了运用知识解决问题的能力．