若f(x)是在x=e处具有连续的导数,且f(e)导数为-1,试求f（e^cos√x)的导数

解题思路：欲求在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

∵y＝
1
2x2+lnx，
∴y′=x+[1/x]，
∴y′|_x=e=e+
1
e．
∴k的值为e+
1
e．
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

1.y'=lnx+x*1/x-1=lnx,k=lne=1,切线方程为：y=x-e
2.y'=12x^2+5sinx+e^x,dy=(12x^2+5sinx+e^x)dx
3.y'=(e^x)cosx-(e^x)sinx
4.dy=y'dx=[cos(x^2-1)]*2xdx=2xcos(x^2-1)dx
5.lny=x+y,lny-y=lnx ,y'/y-1=1/x ,y'= (1+1/x)y

解题思路：（1）运用积函数的求导公式计算这个函数的导数即可．（2）欲求在点x=e处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

（1）y=xlnx，
∴y'=1×lnx+x•[1/x]=1+lnx
∴y'=lnx+1；
（2）k=y'|_x=e=lne+1=2，
又当x=e时，y=e，所以切点为（e，e），
∴切线方程为y-e=2×（x-e），
即y=2x-e．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

解题思路：先求导函数，求曲线在点x=e处的切线的斜率，进而可得曲线f(x)＝

x

lnx

在点x=e处的切线方程

求导函数，y′=[lnx−1
ln2x，
∴当x=e时，y′=0
∴曲线y=xlnx在点x=e处的切线方程为y-e=0（x-
e/lne]）
即y=e．
故答案为：y=e．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题．

解题思路：对函数f（x）=（x+a）•lnx进行求导，根据x=e处的线斜率是2，则f'（e）=2，解之即可求出a的值．

∵f（x）=（x+a）•lnx　
∴f′（x）=lnx+
x+a
x]，
在x=e处的切线与直线x+2y-5=0垂直
∴曲线在x=e处的切线的斜率为2，
∴f'（e）=1+[e+a/e]=2，即a=0．
故选A．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定．

考点点评： 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及两条直线垂直的判定，属于基础题．

解题思路：求导函数，确定x=e处的切线的斜率，确定切点的坐标，利用点斜式可得结论．

求导函数f′（x）=lnx+1，∴f′（e）=lne+1=2
∵f（e）=elne=e
∴曲线f（x）=xlnx在x=e处的切线方程为y-e=2（x-e），即y=2x-e
故选D．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，属于基础题．

解题思路：（Ⅰ）利用f（x）在x=e处的切线方程，可得f′(e)＝−

e−1

e

，且f（e）=2-e，f（1）=a+c=0，即可求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）求导函数，令d（x）=2x²-mx+m（x＞0），分类讨论，建立不等式，即可求实数m的取值范围．

（Ⅰ）由题设知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+
b
x，
∵f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，
∴f′(e)＝−
e−1
e，且f（e）=2-e，即a+
b
e＝−
e−1
e，且ae+b+c=2-e，
又f（1）=a+c=0，解得a=-1，b=1，c=1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0）
∴g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m（x＞0）
∴g′(x)＝2x−m+
m
x＝
1
x(2x2−mx+m)(x＞0)…（7分）
令d（x）=2x²-mx+m（x＞0）．
（ⅰ）当函数g（x）在（1，3）内有一个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有且仅有一个根，
即d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有且仅有一个根，
又∵d（1）=2＞0，当d（3）=0，即m=9时，d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有且仅有一个根x＝
3
2，当d（3）≠0时，应有d（3）＜0，即2×3²-3m+m＜0，解得m＞9，
∴m≥9．
（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有两个根，
即二次函数d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有两个不等根，
所以

△＝m2−4×2×m＞0
d(1)＝2−m+m＞0
d(3)＝2×32−3m+m＞0
1＜
m
4＜3，解得8＜m＜9．
综上，实数m的取值范围是（8，+∞）…（13分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．

解题思路：（Ⅰ）利用f（x）在x=e处的切线方程，可得f′(e)＝−

e−1

e

，且f（e）=2-e，f（1）=a+c=0，即可求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）求导函数，令d（x）=2x²-mx+m（x＞0），分类讨论，建立不等式，即可求实数m的取值范围．

（Ⅰ）由题设知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+
b
x，
∵f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，
∴f′(e)＝−
e−1
e，且f（e）=2-e，即a+
b
e＝−
e−1
e，且ae+b+c=2-e，
又f（1）=a+c=0，解得a=-1，b=1，c=1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0）
∴g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m（x＞0）
∴g′(x)＝2x−m+
m
x＝
1
x(2x2−mx+m)(x＞0)…（7分）
令d（x）=2x²-mx+m（x＞0）．
（ⅰ）当函数g（x）在（1，3）内有一个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有且仅有一个根，
即d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有且仅有一个根，
又∵d（1）=2＞0，当d（3）=0，即m=9时，d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有且仅有一个根x＝
3
2，当d（3）≠0时，应有d（3）＜0，即2×3²-3m+m＜0，解得m＞9，
∴m≥9．
（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有两个根，
即二次函数d（x）=2x²-mx+m=0在（1，3）内有两个不等根，
所以

△＝m2−4×2×m＞0
d(1)＝2−m+m＞0
d(3)＝2×32−3m+m＞0
1＜
m
4＜3，解得8＜m＜9．
综上，实数m的取值范围是（8，+∞）…（13分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．

y'=lnx+1
k=y'|x=e=2
x=e则y=elne=e
所以切线方程L：y-e=2(x-e)
法线方程：y-e=-(x-e)/2

(1)求导得f‘(x)=a+b/x
由f(1)=f'(1)=0得b=c=-a
所以f'(x)=a(1-1/x)
再由题意得f(x)在x=e处的切线斜率为1-e/e.
由f’(e)=1-e/e得a=-1
所以b=c=1
(2)由(1)得f(x)=-x+inx+1
所以h(x)=-x+inx
所以h‘(x)=-1+1/x=1-x/x
令h'(x)＜0得x＞1
所以函数的单调递减区间是(1,﹢∞)
(3)由(2)得h(x)在(0,1)上为增函数,在(1,﹢∞)为减函数.
因此h(x)≤h(1)=-1
即x-1≤Inx
所以ln2/2 * ln3/3 * ln4/4 *.ln2012/2012＜ln2/In3 * ln3/In4 * ln4/4 *.ln2012/2012=In2/2012
＜1/2012
所以不等式得证.

y=f(x)=x㏑x.(x＞0).求导得f'(x)=1+㏑x.故f(e)=e,f'(e)=2.故所求的切线方程为y=2x-e.(二）F(x)=f(x)/a=(x㏑x)/a.求导得F'(x)=(1+㏑x)/a.易知,F'(1/e)=0.===>在(0,1/e]上,F（x)递减,在[1/e,+∞)上,F（x)递增.故（1）当0

（1）由f（x）=ax+blnx+c知，f（x）的定义域为（0，+∞）， f ′ (x)=a+
b
x ，
又f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，而切线（e-1）x+ey-e=0的斜率为 -
e-1
e ，
所以有 f ′ (e)=a+
b
e =-
e-1
e ①
由x=1是函数f（x）的零点，得f（1）=a+c=0 ②
由x=1是函数f（x）的极值点，得f ^′ （1）=a+b=0 ③
由③得：a=-b，把a=-b代入①得： -b+
b
e =-1+
1
e ，所以b=1，则a=-1，由②得：a=-c，所以c=1．
所以，a=-1，b=1，c=1．
（2）由（1）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0），
因此，g（x）=x ² +mf（x）=x ² -mx+mlnx+m （x＞0），
所以 g ′ (x)=2x-m+
m
x =
1
x (2 x 2 -mx+m) （x＞0）．
要使函数g（x）在（1，3）内不是单调函数，则函数g（x）在（1，3）内一定有极值，
而 g ′ (x)=
1
x (2 x 2 -mx+m) ，所以函数g（x）最多有两个极值．
令d（x）=2x ² -mx+m （x＞0）．
（ⅰ）当函数g（x）在（1，3）内有一个极值时，g ^′ （x）=0在（1，3）内有且仅有一个根，
即d（x）=2x ² -mx+m 在（1，3）内有且仅有一个根，
又因为d（1）=2＞0，所以当d（3）＜0时，d（x）=2x ² -mx+m 在（1，3）内有且仅有一个根，
即2×3 ² -3m+m＜0，解得m＞9．
（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，g ^′ （x）=0在（1，3）内有两个根，
即二次函数d（x）=2x ² -mx+m 在（1，3）内有两个不等根，
所以

△=(-m ) 2 -4×2×m＞0
d(1)=2-m+m＞0
d(3)=2× 3 2 -3m+m＞0
1＜
m
4 ＜3
，
解得：8＜m＜9．
综上，实数m的取值范围是（8，9）∪（9，+∞）．
（3）由h（x）=f（x）-1得：h（x）=-x+lnx （x＞0），所以 h ′ (x)=
1-x
x ，
令h ^′ （x）≤0，即
1-x
x ≤0 ，得：x≥1，即h（x）的单调递减区间为[1，+∞）．
事实上，
由函数h（x）=-x+lnx （x＞0）在[1，+∞）上单调递减可知，
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜h（1），即-x+lnx＜-1，
亦即lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）都成立，
不等式两边同时除以x，
亦即 0＜
lnx
x ＜
x-1
x 对一切x∈（1，+∞）都成立，
所以 0＜
ln2
2 ＜
1
2 ，
0＜
ln3
3 ＜
2
3 ，
0＜
ln4
4 ＜
3
4 ，
…
0＜
ln2012
2012 ＜
2011
2012 ，
所以有

ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 ×…×
ln2012
2012 ＜
1
2 ×
2
3 ×
3
4 ×…×
2011
2012 ，
所以
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 ×…×
ln2012
2012 ＜
1
2012 ．

解题思路：（I）题目给出了函数在x=e处的切线方程，则知道了f′（e），再由切线过切点三个式子联立可求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）根据函数g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在区间（1，3）内不是单调函数，说明该函数在区间（1，3）内一定有极值，求出函数的导函数为g′（x）=[1/x]（2x2-mx+m），此导函数等于0可转化为二次方程2x²-mx+m=0，然后分该方程有一个实数根和两个实数根分类讨论，对每一种情况结合二次函数的图象列式可求m的范围；
（Ⅲ）把f（x）代入后求出函数h（x）的导函数，由导函数小于等于0求得函数h（x）的减区间为[1，+∞），根据函数在[1，+∞）上是减函数，则lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）都成立，两边同时除以x后得0＜[lnx/x]＜[1−x/x]对一切x∈（1，+∞）都成立，再利用放缩法证明不等式．

（I）由f（x）=ax+blnx+c知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+bx，又f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，而切线（e-1）x+ey-e=0的斜率为-e−1e，所以有f′（e）=a+be=-e−1e，即（b-1）+（a+1）e=0...

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数在某区间（a，b）内存在极值，则函数在该区间内不是单调函数，考查了函数在某点处取得极值的条件，函数在某点处取得极值，则函数在该点处的导数等于0，反之，函数在某点处的导数等于0，该点不一定是极值点，训练了利用放缩法证明不等式．此题具有一定难度

解题思路：先求导函数，求曲线在点x=e处的切线的斜率，进而可得曲线f(x)＝

x

lnx

在点x=e处的切线方程

求导函数，y′=[lnx−1
ln2x，
∴当x=e时，y′=0
∴曲线y=xlnx在点x=e处的切线方程为y-e=0（x-
e/lne]）
即y=e．
故答案为：y=e．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题．

解题思路：对函数求导f′（x）=lnmx+1，结合导数的几何意义可知切线斜率为k=lnem+1=2 可求m
②先求函数f（x）的单调区间，然后对a分类讨论：a＞0 时，a＜0，求函数y=af（x）在[1，3]上的单调性，结合二次函性质可求a的范围
③要证明x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

−

2

e

，令h(x)＝

x

ex

−

2

e

，只要证f(x)≥−

1

e

≥

x

ex

−

2

e

即可

①f′（x）=lnmx+1，所以切线斜率为k=lnem+1=2 （1分）
所以m=1 （2分）
②若a＞0 则当x∈[1，3]，f′（x）＞0，
∴f（x）单调递增，（3分）
故g（x） 在[1，3]上单调递增，从而对称轴x=a≥3，综合有a≥3 （4分）
若a＜0，则当x∈[1，3]，f′（x）＜0，
∴f（x）单调递减，故g（x） 在[1，3]上单调递减，从而对称轴x=a≤1
综合有：a＜0（6分）
若a=0，f（x） 不是单调函数，不符合题意．
综上所述：a 的取值范围是a≥3 或者a＜0 （7分）
③（i）当x∈（0，[1/e]），f′（x）＜0，函数单调递增，
（ii ）当x∈(
1
e，+∞)，f′（x）＞0，函数单调递增
所以当x＝
1
e 时，f（x） 取最小值−
1
e，（9分）
令h(x)＝
x
ex−
2
e，则h/(x)＝
1−x
ex
所以当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减
则当x=1 时，h（x） 取最大值−
1
e，（11分）
因此f(x)≥−
1
e≥
x
ex−
2
e，但等号不能同时成立．
故f(x)＞
x
ex−
2
e （13分）

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查了导数的几何意义的应用，导数在判断函数的单调区间、极值、最值中的应用，及利用导数的最值与不等式证明中的应用．

1)f(x)=xlnx,f(e)=e.f'(x)=lnx+1,f'(e)=1+e
所求切线方程为：y-e=(1+e)(x-e),y=(1+e)x-e^2.
2)F(x)=f(x)/a只有一个极小值点x=1/e.
所以,F(x)在区间[a,2a]上的最大值为F(a)和F(2a)中的最大者.
F(a)=lna,F(2a)=2ln(2a)=ln(4a^2)
当0

1.f(e)=1 所以(e,1)为切点
2.f'(e)=1/e 所以1/e为斜率
设切线l：y=(1/e)x+b 将(e,1)代入
则 b=0 即l：y=(1/e)x

解题思路：（1）由f′（e）=2可得a，利用导数即可求得最小值；
（2）利用斜率公式、导数可表示f′（x₀）=k，分离出lnx₀，作差lnx₂-lnx₀，通过构造函数借助导数可得差的符号，从而得到结论；

（1）f′（x）=a（lnx+1），
由题意，得f′（e）=2，即2a=2，
∴a=1．
当0＜x＜[1/e]时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞[1/e]时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴f(x)min＝f(
1
e)=-[1/e]；
（2）k＝
f(x1)−f(x2)
x1−x2＝
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2，f′(x0)＝1+lnx0，
由f′(x0)＝k⇒
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2＝1+lnx0⇒lnx0＝
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2−1，
∴lnx2−lnx0＝lnx2+1−
x1lnx1−x2lnx2
x1−x2＝
x1(lnx2−lnx1)+x1−x2
x1−x2=
ln
x2
x1+1−
x2
x1
1−

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值及斜率公式，解决（2）问的关键是合理变形，灵活构造函数．

解题思路：（1）先求将x=e代入直线方程求切点，然后求导，求x=e处的导数，即切线斜率，求出切线方程y=e^ex-e^e+1+e^e；
（2）先利用导数求出在x=x₀处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题．

（1）函数y=e^x，f（e）=e^e，则切点坐标为（e，e^e），
求导y′=e^x，则f′（e）=e^e，即切线斜率为e^e，
则切线方程为y-e^e=e^e（x-e），
化简得y=e^ex-e^e+1+e^e；
（2）y=e^x，y′=e^x，
设切点的坐标为（x₀，e^x0），
则切线的斜率为f′（x₀）=e^x0，
故切线方程为y-e^x0=e^x0（x-x₀），
又切线过原点（0，0），
则-e^x0=e^x0（-x₀），
解得x₀=1，y₀=e，
则切线方程为y=ex．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程

考点点评： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．

1、切线方程 x=e 点 y=f（e）=elne=e
斜率k=f'(x)=lne+e/e=2 y=f(x)=2（x-e)+e=2x-e
2、F(x)=f(x)/a=xlnx/a 求导 （lnx+1）/a a>0 所以倒数为增函数
x属于[a,2a]
（lna+1）/a (ln2a+1)/a
（lna+1）/a >0 a>1/e 导数大于0 F（x）为增 最大值为2ln（2a）
(ln2a+1)/a-2/e
令 g（x）= x（lnx-e^(-x)） 求导 的 lnx-e^(-x)+1+e^(-x)=lnx+1
当lnx+1>0 即 x>1/e g(x) 为增
当lnx+1

x→0时,1/2√x→∞.要把sin√x与1/√x合在一起讨论,这是个等价无穷小

f(x) = ax+xlnx
求导：f ＇（x）= a+1+lnx
在x=e处切线斜率为3
f ＇（e）= a+1+lne = a+1+1=3
a=1
f(x) = x+xlnx
f ＇（x）= 2+lnx
f(x)≤kx²
x+xlnx≤kx²
x＞0,两边同除以x,不等号不变向
1+lnx≤kx
问题简化为求g(x)=1+lnx 的过原点的切线
g ＇(x)=1/x
即g（x）在（x,1+lnx）的切线斜率为 1/x
切线过原点
∴1/x=y/x=(1+lnx)/x
∴1+lnx=1
∴x=1
∴g(x)=1+lnx 的过原点的切线斜率 = g ＇(1)=1/1 = 1
∴k≥1

第一个问题：
对y＝e^（2x）求导数,得：y′＝2e^（2x）,∴过点x＝e处的切线的斜率＝2e^（2e）.
∴过x＝e处的切线的方程是：y－e^（2e）＝2e^（2e）（x－e）,
即：y＝2e^（2e）x＋e^（2e）－2e^（2e＋1）.
第二个问题：
∵y′＝2e^（2x）,∴过原点的切线的斜率＝2,∴过原点的切线的方程是：y＝2x.

求导y'=x'*lnx+x*1/x=lnx+1
x=e处切线的斜率k=lne+1=1+1=2
x=e,y=elne=e
即切点(e,e)
方程:y-e=2(x-e),即y=2x-e
y'=lnx+1>=0,lnx>=-1,得x>=1/e
即单调增区间是(1/e,+无穷)
y'=lnx+1

1、切线方程 x=e 点 y=f（e）=elne=e
斜率k=f'(x)=lne+e/e=2 y=f(x)=2（x-e)+e=2x-e
2、F(x)=f(x)/a=xlnx/a 求导 （lnx+1）/a a>0 所以倒数为增函数
x属于[a,2a]
（lna+1）/a (ln2a+1)/a
（lna+1）/a >0 a>1/e 导数大于0 F（x）为增 最大值为2ln（2a）
(ln2a+1)/a-2/e
令 g（x）= x（lnx-e^(-x)） 求导 的 lnx-e^(-x)+1+e^(-x)=lnx+1
当lnx+1>0 即 x>1/e g(x) 为增
当lnx+1

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