问： 10 某高校在进行自主招生面试时，共设4道试题，每道试题回答正确给10分、否则都不给分．若某学生对

（1）第三组的频率为0.06×5=0.3，
第四组的频率为0.04×5=0.2，
第五组的频率为0.02×5=0.1．
（2）（i）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A，
第三组应有3人进入面试，则：
P（A）=

C12
C228

C330=[27/145]．
（ii）第四组应有2人进行面试，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，
且P（ξ=i）=

Ci2
C2-i4

C26，（i=0，1，2），
则随机变量ξ的分布列为：
ξ 012
P [2/5] [8/15] [1/15]Eξ=[8/15]+[2/15]=[2/3]．

点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

考点点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量ξ的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．

24.96万=249600=2.496×10⁵≈2.50×10⁵．
故选B．

点评：
本题考点： 科学记数法与有效数字．

考点点评： 此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．

根据提供的表格，得：K2＝
50(13×20−7×10)2
23×27×20×30≈4.844＞3.841
∴可以判定有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．
故答案为：4.844，有

点评：
本题考点： 独立性检验的应用．

考点点评： 独立性检验运用的考查，主要是套用公式计算，利用临界值进行判断，一般来说比较简单．

甲班有40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，
算得甲班的平均成绩是90分，
乙班的平均成绩是81分，
该校数学建模兴趣班的平均成绩是
40×90+50×81
90＝85分．
故答案为：85

点评：
本题考点： 众数、中位数、平均数．

考点点评： 本题考查加权平均数，这种问题注意要每一个数据乘以它的权重，得到所有数据之和，再除以所有数的个数．这种题目是初中教材上学习的内容．

根据元素与微观粒子及物质的区别．宏观物质的组成，用宏观概念元素来表示；分子的构成，用微观粒子来表示．元素是具有相同核电荷数（即核内质子数）的一类原子的总称，是宏观概念，只讲种类，不讲个数．食品、药品、营养品、矿泉水等物质中的“碘、氟、钙、铁、锌”等不能以单质、分子、原子形式存在，而是指元素．
故选A．

点评：
本题考点： 物质的元素组成；金属元素的存在及常见的金属矿物．

考点点评： 本题考查学生根据元素与微观粒子及物质的区别进行分析解题的能力．

（I）设甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格的概率分别为P（A）、P（B）、P（C），
则P(A)＝
1
2×
3
5＝
3
10，P(B)＝
1
2×
3
5＝
3
10，P(C)＝
2
5×
3
4＝
3
10，
所以甲，乙，丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率：
P＝
C13
3
10(1−
3
10)2＝0.441
（Ⅱ）X可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝(1−
1
2)(1−
3
5)(1−
2
5)＝
3
25，
P(X＝1)＝
1
2×
2
5×
3
5+
1
2×
3
5×
3
5+
1
2×
2
5×
2
5＝
19
50，
P(X＝2)＝
1
2×
3
5×
2
5+
1
2×
2
5×
2
5+
1
2×
3
5×
3
5＝
19
50，
P(X＝3)＝
1
2×
3
5×
2
5＝
3
25，
∴X的分布列为：

X0123
P[3/25][19/50][19/50][3/25]EX＝0×
3
25+1×
19
50+2×
19
50+3×
6
50＝
3
2．

点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．

考点点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．

（1）甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试包括三种情况，这三种情况是互斥的，
分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A₁、A₂、A₃；
E表示事件“恰有一人通过笔试”
由互斥事件的概率和相互独立事件同时发生的概率得到
P(E)＝P(A1
.
A2
.
A3)+P(
.
A1A2
.
A3)+P(
.
A1
.
A2A3)
=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38．
（2）分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A，B，C，
则P（A）=P（B）=P（C）=0.3
由题意知变量ξ可能的取值是0，1、2、3，
结合变量对应的事件写出分布列，
∴P（ξ=0）=0.7³=0.343
P（ξ=1）=3×（1-0.3）²×0.3=0.441，
P（ξ=2）=3×0.3²×0.7=0.189，
P（ξ=3）=0.3³=0.027．
∴E（ξ）=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．

点评：
本题考点： 相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．

考点点评： 本题的第二问也可以这样解，因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为p=0.3，得到ξ～B（3，，03），根据二项分布的期望公式得到E（ξ）=np=3×0.3=0.9．

（Ⅰ）由题意，第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1．（3分）
（Ⅱ）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10．
因为第3，4，5组共有60名学生，
所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：
第3组：[30/60]×6=3，
第4组：[20/60]×6=2，
第5组：[10/60]×6=1．
所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人进入第二轮面试（9分）

点评：
本题考点： 频率分布直方图；分层抽样方法．

考点点评： 本题考查频率分步直方图的性质，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目．

由题意，考虑其对立事件：3人都没有分在同一专业的概率为

P310
10×10×10，故至少有2人分在同一专业的概率为P=1-

P310
10×10×10=
7
25，
故答案为P=1-

P310
10×10×10=
7
25

点评：
本题考点： 等可能事件的概率．

考点点评： 本题的考点是等可能事件的概率，主要考查概率的求解方法，考查对立事件的概率，等价转化是解题的关键．

（1）设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐，根据题意，得

x+2y＝1680
2x+y＝2280
解这个方程组，得

x＝960
y＝360
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．
（2）因为960×5+360×2=5520＞5300，
所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐．

点评：
本题考点： 二元一次方程组的应用．

考点点评： 本题考查二元一次方程的应用，属于比较基本的应用问题．注意根据题目给出的已知条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

根据题意知本题是一个排列组合的实际问题，
当考生选择甲、乙两所学校时，有C₂¹=2种结果，再在其他5所学校中选出3个，共有2C₅³=20种结果，
当考生不选择甲和乙两所学校时，只要葱所中选4所，共有C₅⁴=5种结果，
∴这个学生共有20+5=25种结果，
故选B．

点评：
本题考点： 排列、组合的实际应用．

考点点评： 本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是看出选择甲和乙与不选择甲和乙的情况不能混在一起来解，因此先要分类来解．

先从14人中选12人，有C₁₄¹²种选法，
早班从12人中选取4人，有C₁₂⁴种选法，
中班从剩余的8人中选4人，有C₈⁴种选法，
剩余的4人是晚班．
∴开幕式当天不同的排班种数为C₁₄¹²C₁₂⁴C₈⁴．
故选A．

点评：
本题考点： 排列、组合及简单计数问题．

考点点评： 本题考查组合的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．

∵四所学校都不录取的概率为：
p₁=[1/2×
1
2×
1
2×
1
2]=[1/16]，
∴这位同学被其中一所学校录取的概率为：
P=1-[1/16]=[15/16]．
故答案为：[15/16]．

点评：
本题考点： 互斥事件的概率加法公式．

考点点评： 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的合理运用．

（Ⅰ）设考生甲正确完成实验操作的题数分别为X，则 P(X＝k)＝

Ck4
C3−k2

C36，k=1，2，3．
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：

X 1 2 3
P [1/5] [3/5] [1/5]∴EX=1×[1/5]+2×[3/5]+3×[1/5]=2．
（Ⅱ）设考生乙正确完成实验操作的题数为Y，则Y＋～B(3，
2
3)，所以P(Y＝k)＝
Ck3(
2
3)k(
1
3)3−k，k=0，1，2，3，
P(Y≥2)＝
12
27+
8
27＝
20
27；又P(X≥2)＝
3
5+
1
5＝
4
5，且P（X≥2）＞P（Y≥2），
从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此甲的实验操作能力较强．

点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

考点点评： 本题主要考查求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法和步骤，属于中档题．