确界原理

因为有理数的不完备性。举个例子：如集合{（1+1/n）^n|n=1,2,3......},由于（1+1/n）^n<3,肯定是有上界的，但在有理数域内没上确界。

区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以.就说一下有上界数集如何证有上确界,下界类似.分两步,第一步套出一个数,第二步证明这个数就是上确界.①对于数集X,如果它有上界M,就构造闭区间列U[n],U[1]=[a[1],M],a[1]是任意一个数,只要使得U[1]∩X≠∅就可以.U[2]这样构造,如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数,就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2].U[3]构造类似,就是再把U[2]一分为二,右半边如果有X中的数就等于右半区间,否则等于左半区间.就这样一直构造下去,所有的U[n]都是递减区间列,根据闭区间套定理,它们必有一个公共元素m.②要证m就是X的上确界.下面分类讨论.1)先说如果m就是集合X中的元素,那么假设X中还有比m大的m",上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的,和m是公共元素矛盾了.这个比较好证明,就不写具体过程了.这样m在X中,而且X中还没有比m更大的数,显然m是X中的最大数,自然是上确界（根据上确界定义可知）.2)m不在X中.先证明m任意小邻域里面有X中的数.还是反证法,假设可以找到一个δ>0,使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数,那由于区间U[n]长度可以任意小,只要n足够大.所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ,但所有U都包含m,于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中,但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素,意思是U[j]里面就没有X中元素,和一开始约定的U[n]构造规则矛盾,所以m任意邻域都有X中数.再证X中的数不可能比m大.还是反证法,和1)完全类似,就不写了.根据上确界的定义,m是X的上确界,就找到了.

区间套的上限以任意下限为下界，下限以任意上限为上界，因此都是有界序列，故有极限点，进一步可证明两极限相等，因此只有唯一的一点在区间套内

若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞；若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。即： 任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）

确界原理的证明是非空有界上（下）数集，必有上（下）确界。1、确界原理证明单调有界定理。单调有界定理：任何单调有界数列必有极限。2、确界原理证明区间套定理区间套定理。3、确界原理证明有限覆盖定理。有限覆盖定理：闭区间[a,b]的任一开覆盖H都有有限的子覆盖。4、确界原理证明聚点定理。5、确界原理证明Cauchy收敛准则。6、确界原理是刻画实数完备性的命题之一。设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

原理：任一有上界的非空实数集必有上确界(为实数)；同样任一有下界的非空实数集必有下确界(为实数)。实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。在扩张的实数系R中，认为没有上(下)界的非空实数集的上(下)确界为+∞(-∞)。这样，在R中任何非空集都有上、下确界。推广：若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞；若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。即： 任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）。

确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数完备性的命题之一。确界原理：任一有上界的非空实数集必有上确界（最小上界）；同样任一有下界的非空实数集必有下确界（最大下界）。实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞；若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。即： 任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）确界原理作为整个极限理论的基础，并且由于它直观易懂，经常代替戴德金定理作为实数公理，从而导出一系列与极限相关的性质，如单调有界定理，柯西审敛原理等。

确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数完备性的命题之一。确界原理：任一有上界的非空实数集必有上确界（最小上界）；同样任一有下界的非空实数集必有下确界（最大下界）。实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano,B.)于1817年发现的。若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞<a<+∞,则确界的概念可扩充为：若数集S无上界，则规定+∞为S的非正常上确界，记做sup S=+∞；若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。即： 任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）确界原理作为整个极限理论的基础，并且由于它直观易懂，经常代替戴德金定理作为实数公理，从而导出一系列与极限相关的性质，如单调有界定理，柯西审敛原理等。

楼上的想法可以，相当于用一个有理数序列去逼近这个无理数，但并没有明确地回答提问者的问题。呵呵，你这个问题是有问题的。无理数指数幂当然是无理数指数幂。你想想以前从整数次幂是如何扩充定义到有理次幂的呢？以底数a>1的情形说明一下。设x是一个无理数，我们是这样定义a^x的：首先把小于x的所有有理数r找出来（当然需要在实数域上先引入序关系），然后我们把所有的这些“a^r”做成一个集合A={a^r}。因为有理次幂是已经有定义的，所以A中的元素是确定的，且显然A非空，是实数集R的一个子集。又因为对于任意的一个无理数x，我们总可以找到一个比它大的有理数t，这样根据有理次幂的性质就有a^r<a^t，这说明这个实数集A是有上界的。于是根据确界原理，A存在一个上确界ξ，这时我们就把ξ这个实数定义为a的x次幂。所以定义出来的是一个确定的实数！

这简单设S为非空有下界的数集,令S的所有下界构成的集合为B,则B必定有上界,所以B有上确界.现在你应该想的是,如何证明B的上确界就是S的下确界.

所谓有限覆盖定理，是指：对于有界闭区间[a，b]的一个（无限）开覆盖H中，总能选出有限个开区间来覆盖[a，b]。这一问题可用区间套定理来证明。（区间套定理：若[an,bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一一点C，使对任何n都有c属于[an,bn].{an}单调递增，{bn}单调递减，都以c为极限。）证明：用反证法 假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-a)/2^2.重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。但，由区间套定理，存在唯一点c属于所有区间[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖，一定存在H中的一个开区间(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0

确界属性的定义是：对于一个有序集合S，如果对于任意一个属于S的非空集合E，当E有上界时就一定有上确界，就说有序集S具备上确界属性。下确界属性类似。所以我们判断的是一个集合S中的所有子集E是否都满足这个条件，然后说这个S是否有这个属性。

也许你不知道如何使用确界原理, 可以给你个提示考察S={t: a<=t<=b且f(x)在[a,t]上有界}, 那么S有上界, 一定有上确界, 然后你只要验证上确界就是b

实数都是连续的，每一个实数都紧贴着另一个实数，所以是连续的

A与B是非空有界数集，那么它们符合确界原理必存在唯一的上（下）确界，A+B={x│z=x+y，x∈A，y∈B},那么，它们的确界是sup (A+B)，根据加法法则，sup (A+B)=sup A+sup B

[M]表示比M小得最大整数，[]是取整函数

只证上确界，下确界同理可证证明：设A有上界，我们来证它有上确界。不妨找A的一个上界M。先在集合A中取一点,记为x1，从x1开始以下列方式取点：在[x1,M]中取A中的一点记作x2，一定可以做到，因为x1本身是A中的点。如是再三，可取得A中的点列{xn}，下面来证明它是柯西序列。若从某一项开始数列恒为一个值，则必定是柯西序列。对于非此情况的数列，由取法可知，数列随着n趋近于无穷，对于任意的r，从某项xk起之后各项（不只是相邻项）之间的差值都会小于r，所以点列{xn}是柯西序列。（注意，如果在xk之后有有限个差值大于r,则把最后的一项定为xk；若有无限项差值大于r，那么若干个r就比[x1,M]还长，不可能出现。）由此可知，无论何种情况，点列{xn}都是柯西序列，所以收敛到一点c。从点列的选法来看，c是A的一个上界，因为它大于等于A中所有的元素。同时，对于任意的e>0，由收敛序列的性质可知存在A中的一点xn，使得c+e>xn>c-e由此证明了c就是A的上确界。问题得证

您好，戴德金定理 对于R的任意一个分划(A,A"),(其中A是下类)要么A存在最大值，要么A"存在最大值证明 （以下证明应用结论：实数集R的两个不同元素a，b之间总有有理数）（反证法）假设存在R的分划（A,B）。其中A无最大值，B无最小值，集合A",B"定义如下A"={X|X∈A∩Q} B"={X|X∈B∩Q}则（A",B"）是Q的一个分划① 若（A",B"）是Q的第一类分划，即A"存在最大值r 由于A无最大值，故存在t∈A使得 r<t因此存在q∈Q使得 r<q<t 由A"的定义q属于A"，但r为A"的最大值，矛盾！② 同理可得（A",B"）不是Q的第二类分划③ 若（A",B"）是Q的第三类分划，则（A",B"）确定一个无理数w 假设w∈A,则存在t∈A使得 w<t因此存在q∈Q∩A"使得 w<q<t 但A"中的元素均小于w，矛盾！ 同理w不属于B综合①②③，假设不成立，命题获证

区间套定理证明问题就是构造区间列去套就可以。就说一下有上界数集如何证有上确界，下界类似。分两步，第一步套出一个数，第二步证明这个数就是上确界。①对于数集X，如果它有上界M，就构造闭区间列U[n]，U[1]=[a[1],M]，a[1]是任意一个数，只要使得U[1]∩X≠u2205就可以。U[2]这样构造，如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数，就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2]。U[3]构造类似，就是再把U[2]一分为二，右半边如果有X中的数就等于右半区间，否则等于左半区间。就这样一直构造下去，所有的U[n]都是递减区间列，根据闭区间套定理，它们必有一个公共元素m。②要证m就是X的上确界。下面分类讨论。1)先说如果m就是集合X中的元素，那么假设X中还有比m大的m"，上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的，和m是公共元素矛盾了。这个比较好证明，就不写具体过程了。这样m在X中，而且X中还没有比m更大的数，显然m是X中的最大数，自然是上确界（根据上确界定义可知）。2)m不在X中。先证明m任意小邻域里面有X中的数。还是反证法，假设可以找到一个δ>0，使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数，那由于区间U[n]长度可以任意小，只要n足够大。所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ，但所有U都包含m，于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中，但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素，意思是U[j]里面就没有X中元素，和一开始约定的U[n]构造规则矛盾，所以m任意邻域都有X中数。再证X中的数不可能比m大。还是反证法，和1)完全类似，就不写了。根据上确界的定义，m是X的上确界，就找到了。

证明：已知实数集A非空.存在a属于A,不妨设a不是A的上界,另外,知存在b是A的上界,记a1= a,b1=b ,用a1 ,b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ,b1 ],如果(a1+b1)/2属于B ,则取a2 =a1 ,b2 =(a1+b1)/2 ；如果(a1+b1)/2属于A ,则取a2 =（a1+b1)/2 ,b2 =b1 ；……如此继续下去,便得两串数列 .其中{an}属于A 单调上升有上界（例如b1 ）,{bn} 单调下降有下界（例如a1 ）并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷） .由单调有界定理,知存在 r,使liman = r (n-->无穷）.由 lim（bn-an ）=0 有 liman+（bn-an ）= r (n-->无穷）因为{bn}是A的上界,所以对任意x属于A ,有x无穷 ,x无穷）bn = r 所以 r是A的上界.而 任意c>0由lim(n-->无穷）an = r知任意c>0知存在N,当n>N 有r-c

【答案】：①令S={x｜α＜x≤b[αx]能被H中有限个开区间覆盖}； ②显然S有上界因H覆盖闭区间[αb]所以存在一个开区间(αβ)∈H使α∈(αβ)取x∈(αβ)则[αx]能被H中有限个开区间覆盖。从而x∈S故S非空； ③由确界原理存在r=supS； ④现证ζ=b用反证法。 若ζ≠b则α＜ζ＜b由H覆盖闭区间[αb]知一定存在(α1β1)∈H使ζ∈(α1β1)取x1x2使α＜x1＜ζ＜x2＜β1且x1∈S则[αx1]能被H中有限个开区间覆盖把(α1β1)加进去就推得x2∈S。这与ζ=supS矛盾故ζ=b即定理结论成立。①令S={x｜α＜x≤b,[α,x]能被H中有限个开区间覆盖}；②显然S有上界,因H覆盖闭区间[α,b],所以存在一个开区间(α,β)∈H,使α∈(α,β),取x∈(α,β),则[α,x]能被H中有限个开区间覆盖。从而x∈S,故S非空；③由确界原理存在r=supS；④现证ζ=b,用反证法。若ζ≠b,则α＜ζ＜b,由H覆盖闭区间[α,b]知,一定存在(α1,β1)∈H,使ζ∈(α1,β1),取x1,x2,使α＜x1＜ζ＜x2＜β1,且x1∈S,则[α,x1]能被H中有限个开区间覆盖,把(α1,β1)加进去,就推得x2∈S。这与ζ=supS矛盾,故ζ=b,即定理结论成立。

上确界1，下确界1/2，验证:首先任意x<1其次对任意ε>0，只要取n>ln(1/ε)/ln2,就有x满足x>1-ε所以1是上确界同样有任意x≥1/2其次，对任意ε>0，取n=1,x=1/2<1/2+ε，因此1/2是下确界

supA=a，supB=b，由上确界定义，对任给的ε＞0，存在x∈A，y∈B，使得a-ε＜x≤a，b-ε＜y≤b，所以对2ε＞0存在x+y∈A＋B，使得a+b-2ε＜x+y≤a+b，这就是说sup(A＋B)=a+b。

百度知道怎么用有限覆盖定理证明确界定理（不能使用六大定理的等价替换来证明）9证明：用反证法.假设存在集合A有上界M但没有上确界,设a为A中的一个元素.则a考虑闭区间[a,M]上的每一个元素x,取它的一个邻域I[x],具体取法如下：(1)如果x是A的上界,那么由反证假设知x不是A的上确界,即存在比x更小的A的上界x".取I[x]=(x",2x-x").显然I[x]内的所有元素都是A的上界.(2)如果x不是A的上界,那么必存在A的元素a"使得a">x.取I[x]=(2x-a",a").显然I[x]内的所有元素都不是A的上界.这样对闭区间[a,M]上的每一个元素x,它都属于它的邻域,即我们构造了一个闭区间[a,M]的无限开覆盖.由有限覆盖定理,其中必存在有限个邻域覆盖整个区间.在这有限个邻域中取所有满足x是A的上界（即条件(1)）的区间I[x],设这些区间的左端点（共有限个）的最小值为x0.显然x0是A的一个上界.考虑x0,显然x0∈[a,M],但x0却不属于有限个区间中的任何一个.这是因为它既不属于由条件(1)构造的I[x]（它比这些区间中的任何数都小）,也不属于由条件(2)构造的I[x]（这些区间中所有的数都不是A的上界）.这就构成了矛盾!对于下界及下确界的情况完全类似.证毕.

所谓实数的连续性指的是,对于实数集R的任意分割所产生的两个新数集A和B中,要么A有最大值,要么B有最小值.或者换句话说,分割的这一点要么属于A,要么属于B,不可能一个都不属于. 用确界原理证明连续性,不妨假设对实数的一组分割A/B中,A没有最大值,只要证明B有最小值就证明了连续性.当然你假设B中没有最小值,去证明A中一定有最大值也是可以的. 因为A是非空并且有上界的,B中每个元素都是A的上界,根据确界原理,A有上确界.设上确界为ξ,显然ξ?A,因为如果ξ∈A,那么ξ就是A中最大值,和前提矛盾. 现证明ξ是B中最小值.如果不是这样,不妨设B中存在一个数η2>0,根据上确界的定义,ξ-ε=(ξ+η)/2不再是A的上界,也就是说A中存在某个数x,x>(ξ+η)/2. 而ξ>η,所以(ξ+η)/2>(η+η)/2=η,综上,在A中就有一个数x>η,所以η∈A,和假设"B中存在一个数η<ξ"矛盾.所以ξ一定是B中的最小值. 这样就证明了实数的连续性.

确界原理的证明是非空有界上（下）数集，必有上（下）确界。1、确界原理证明单调有界定理。单调有界定理：任何单调有界数列必有极限。2、确界原理证明区间套定理区间套定理。3、确界原理证明有限覆盖定理。有限覆盖定理：闭区间[a,b]的任一开覆盖H都有有限的子覆盖。4、确界原理证明聚点定理。5、确界原理证明Cauchy收敛准则。6、确界原理是刻画实数完备性的命题之一。设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数连续性的命题之一。设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。有界集定义定义一：设S为R的一个数集。若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）。若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。例题：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。[1]证：显然，任何一个不大于零1的实数都是N+的下界，故N+为有下界的数集。现在要证N无上界，按照定义，只需证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数n0（∈N+），使得n0>M。事实上，对于任何一个正数M（不论这个数是多么的大），总存在一个数N=[M]+1([X]表示不超过X的最大整数)，使得N>M.这就证明了N+无上界。确界的定义文字描述：若数集S有上界，显然S有无穷多个上界（因为任何大于有界集S最大的数都是S的上界），其中最小的一个我们将它称为S的上确界（用sup S表示）。同样的有，有下界数集S的最大下界称为该数集的下确界（用inf S表示）。（sup为拉丁文supermun的简写，inf为拉丁文infimun的简写）。上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足（i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界；（ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界；下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足：（i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；（i）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界；确界原理

确界原理是刻画实数完备性的命题之一。设非空数集S有上界，若存在实数β满足以下两个条件：1、有，（即β是S的一个上界）2、有，（即再小一点就不是上界）则称实数β为S的上确界，记为同理，若存在实数α满足以下两个条件：1、有，（即α是S的一个下界）2、有，（即再大一点就不是下界）则称实数α为S的下确界，记为。有时上确界也被叫做最小上界，下确界也被叫做最大下界。注意：S的上确界（或下确界）可能属于S，也可能不属于S。当上确界（或下确界）属于S时，不难证明上确界（或下确界）就是S中的最大数（或最小数）。