傅立叶级数一个小问题如图.在看这篇科普文章.可还是有几个点不懂..作者说可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应

一． 傅里叶级数的三角函数形式
设f(t)为一非正弦周期函数,其周期为T,频率和角频率分别为f ,ω1.由于工程实际中的非正弦周期函数,一般都满足狄里赫利条件,所以可将它展开成傅里叶级数.即
其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅,不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量.A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波,A1,ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍,称为二次谐波,A2,ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波,四次谐波等.基波,三次谐波,五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波,四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外,其余各项统称为高次谐波.式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加.
上式有可改写为如下形式,即
当A0,An,ψn求得后,代入式 (10-2-1),即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式.
把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析.工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种,它们的傅里叶级数展开式前人都已作出,可从各种数学书籍中直接查用.
从式（10-2-3）中看出,将n换成(-n)后即可证明有
a-n=an
b-n=-bn
A-n=An
ψ-n=-ψn
即an和An是离散变量n的偶函数,bn和ψn是n的奇函数.
二． 傅里叶级数的复指数形式
将式（10-2-2）改写为
可见 与 互为共轭复数.代入式（10-2-4）有
上式即为傅里叶级数的复指数形式.
下面对和上式的物理意义予以说明：
由式（10-2-5）得的模和辐角分别为
可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn,物理意义十分明确,故称为第n次谐波的复数振幅.
的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有
上式即为从已知的f(t)求的公式.这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7）,通常用下列符号表示,即
即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得,再将所求得的代入式（10-2-7）,即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数.
在（10-2-7）中,由于离散变量n是从（-∞）取值,从而出现了负频率（-nω1）.但实际工程中负频率是无意义的,负频率的出现只具有数学意义,负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的,它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量.即
引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便.

就是它自己啊：sin((2N+1)x)=sin((2N+1)x)
泰勒级数是用标准的光滑函数：幂函数x^n的无穷和来模拟一般的光滑函数,系数通过n阶导数得到；而傅立叶级数是用标准的周期函数：三角函数sin(nx),cos(nx)的无穷和来模拟一般的周期函数,系数通过和sin(nx),cos(nx)乘积的积分得到.特别地,如果函数本身已经是幂函数的和,即多项式,则泰勒级数就是自己；而如果函数本身已经是sin(nx),cos(nx)或它们的和（称为三角多项式）,则傅立叶级数就是自己

你忘了x²不是周期函数,x²cos2x不是周期函数.你的转化是错误的.

个人觉得,可以把非周期信号看成周期T趋于无穷大,频率间隔△ω=2π/T趋于无穷小,谱线会无限接近,以至于变成了连续的曲线.故可以将非周期信号理解为由无限多个、频率无限接近的频率成分组成.楼主能提出该问题,说明应该学过概率论了,可以借鉴概率密度函数.
以下是网页参考资料摘下来的：
傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成,也就是说,把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加,那对于非周期信号来说,每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别,你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小,但这些无限小是有差别的.所以,傅里叶变换之后,横坐标即为分离出的正弦信号的频率,纵坐标对应的是加权密度.
对于周期信号来说,因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分,所以其加权不为零——在幅度谱上,表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的,所以我们用冲激函数表示.
建议看一下郑君里的《信号与系统》,

F级数必须在收敛域中才有意义,意思就是说,那个相加的一大团式子,只有X在收敛域范围内,才能得到一个确定值,收敛域外他的和是无穷大或者别的什么东西,反正没有意义

你说的应该是周期信号的傅立叶级数表示和非周期信号的傅立叶变化吧,其实周期信号也可以进行傅立叶变化,只不过它们变化后的结果一个连续的,一个是离散的,也就是说周期信号可以表示成离散频率的复指数信号之和,而非周期信号由无数在频率上连续的复指数信号组成,所以最终表示出来就是一个积分.

展开成Fourier级数应该不成问题,直接套公式即可,注意首先作奇延拓和偶延拓随后求和的时候注意sin((2n-1)π/2)的取值具体解析如下：

复数形式

法国数学家、物理学家傅立叶,1768年3月21日生于欧塞尔,1830年5月16日卒于巴黎.另有同名空想社会主义思想家傅立叶.

我个人认为有一下几个原因：
1.展开成级数,可以知道每个频率的成分的大小,可以在频域来评价信号特征,处理信号方便.
2.方便建立模型,理论研究 ,很多情况下我们建立了线性系统,把有的信号分解成一些列的简单序列,可以简化模型中的计算
3.了解信号的特征,方便数学计算,比如卷积变乘积.
4.很多物理器件本身就有傅立叶变换的性质,所以直接数学运算就可以知道输出与输入的关系
5.像你说的矩形波,还有很多只是数学上的,理想的情况,实际中没法得到理想的情况,那么这时通过傅立叶变换就可知道信号的主要特征,比如哪些成分大,可以人为合成.

既然函数以2π为周期, 那么区间[-π,π]与[0,2π]都是一个周期,
两个区间上的逐段可微性是完全等价的.
换成任何一个长为2π的闭区间都一样.
换个说法, 已知一个2π周期函数在[0,2π]上的取值,
可以由周期性决定其在[-π,π]上的取值,
而且如果在[0,2π]上逐段可微, 则在[-π,π]上也逐段可微.
又由cos(nx), sin(n...

奇谐函数函数是指函数的傅里叶展开式中只包含奇数次；
偶谐函数是指函数的傅里叶展开式中只包含偶数次谐波.
奇函数的傅里叶展开式只包含正弦项；偶函数的傅里叶展开式只包含余弦项.
假设锯齿波的峰峰值为A,周期为ω.
F（ω）=A/π sinωt-A/2π sin2ωt+A/3π sin3ωt-A/4π sin4ωt+...A/nπ（-1）^(n+1)sinnωt+...
三角波的傅里叶级数既包含奇数次谐波,也包含偶数次谐波,因此,既不是奇谐函数,也不是偶谐函数.
三角波的傅里叶级数只包含正弦项,不包含余弦项,因此,三角波是奇函数.

cosnx = [e^(-nix) + e^(nix)]/2
sinnx = [e^(nix) - e^(-nix)]/2i
含有n的三角函数项都能写成含n和-n的复数项
那么前者n从0到正无穷写成后者n也是0到正无穷,-n是负无穷到0,合起来就是负无穷到正无穷

级数运算一般是不会要太精确的,而复指数 可以把福利也级数化为简单的类似于虚数的量,实数部分和虚数部分 可以分开计算,最后又可以把结果合成为三角函数 比起用三角函数公式解决题目的计算要简单很多 所以这么说.

∫（sinx的）^ 4 - （sinx的）^ 6] dx的
=∫（sinx的）^ 4 [1 - （sinx的）^ 2] dx的
=∫（sinx的）^ 4（cosx的） ^ 2DX
=（1/4）,∫（2sinxcosx）^ 2氮化硅（SiNx）^ 2DX
=（1/8）,∫（sin2x）^ 2 [2（sinx的）^ 2] DX =（1/8）∫（sin2x）^ 2（1-cos2x）DX
=（1/8）,∫（sin2x）^ 2DX（1/8）∫（sin2x）^ 2cos2xdx =（1/16）∫（1 - cos4x）dx的（1/16）∫（sin2x）^ 2cos2xd（2×）
=（1/16）∫dx的（1/16）∫cos4xdx - （1/16）∫（sin2x）^ 2D（sin2x）
= x/16-（1/64）∫cos4xd（4） - （1/48）（sin2x）^ 3
= x/16-（1/64）cos4x-（1/48）（sin2x）^ 3 + C

按照傅里叶级数展开式的那个三个公式,分别利用分部积分法求积分就行 （需要用两次 ,过程方法跟求e^x *sinx 的积分时的过程方法类似）

Fourier级数是f(x)=∑ancos(nx)+bnsin(nx)
将一满足Dirichlet条件的函数展开成三角级数的理论
后续理论是傅里叶变换
傅里叶分析等东西
会在微积分里面级数的一部分讲到一点初步的东西

abs(sinx)为偶函数.f(x)=1/2A0 + sum{An cosnx}.
A0=(2/pai) ∫ [0,pai] sinx=2/pai,An=(2/pai) ∫ [0,pai] sinxcosnx自己算吧

左下图3的那个可以展开
需要的条件是 一阶连续可导,
图1 在x=0不连续 图2和图4 在两端点处不连续

因为f(x)=e^x是以2π为周期的函数,所以f(x)=e^x在x=π处的左极限为e^π,右极限为e^(-π),其傅里叶级数在x=π处收敛于左右极限的平均值,即(e^π+e^(-π))/2

老了,具体也忘记怎么解了.给个提示：先把标准的形式方程写出,逐步的求出里面的a0,an,bn.确定一个周期范围.三角形式和指数形式有对应的一个公式转换,看看就行了.

周期函数没有傅里叶变换,只能展开为傅里叶级数.

我觉得先把sin/x对于0做Taylor展开然后计算,积分的确值是
π/2
当然你也可以只展开前几项,sinx

a0=0,an=0这是很显然的,根据求an的公式就可以得出哈.主要说下bn 因为f(π-x)=f(x),且函数为2π的周期函数,所以f(2π-π+x)=f(x)=f（π+x） 所以函数关于x=π对称,所以f(π-x)=f（π-x-π）=f（x） 所以函数又为偶函数,因此b2n也为0

周期为0.5T

只包含奇次的余弦分量,因为是 偶、半波镜像[或称奇谐]信号
答案有时也有错,可能是让研究生 帮做的

傅立叶级数是用来对周期函数进行展开的,如果原函数的频率为w,则展开的各项中,除了常数项,其他的都是w的整数倍.
当原函数为非周期函数的时候,则可以看成周期无穷大,频率w无穷小的情况,同样通过傅立叶级数进行展开,可是这时候可以看到,每一项前面的系数都开始趋于无穷小,但是这个原函数确实是由各种频率分量组合而成的,只不过每一个分量的作用都非常小.
这时候为了看到各种频率分量之间的关系,前辈们在以上这个无穷小的系数上除了一个无穷小量w,这样得到了一般意义上的傅立叶变换,每个频率分量代表着各自的相对大小.
所以当对周期函数这样的含有纯频率的函数进行傅立叶变换时就会出现冲击函数了.

一函数f(x)如在趋近于无限大时仍能收敛至零,则此函数若为周期性的,就可以用傅立叶级数来表示,如果不是周期性的,就必须用傅立叶积分来表示.
傅立叶积分原是f(x)*sin(wx)与f(x)*cos(wx)分别从零到无限大的积分,此二积分可以用e^(-iwx) [ =
cos(wx) – i sin(wx)]来合并,加上前面的根号系数,这就是傅立叶变换,其实部与虚部分别是cosine与sine的积分!

再用傅立叶级数展开成余弦级数.傅立叶级数在整个定义域上都成立. 补全为偶函数后,不用求正弦级数的部分,只用求余弦级数. a=1/A×(-A,A)∫f(

自己积分,用分部积分法总归积出来的.你这里x是奇函数,1是偶函数,所以xsinx和conx积分,那是相当地好做,可是手写的不知道怎么给你.

只要级数收敛,那么展开形式是唯一的.

没有实质的不同,通过尤拉公式是可以相互转化的啊!

1这个例子不好举,泛函分析中有个证明,只是证明了存在性,也没构造出反例
2不是一回事,三角函数构成的级数都叫三角级数,比如cosx的n次幂构成的级数
3这个有很多,泰勒展开也可以的说,只不过算起来有点费劲,不过傅里叶分析本身是为了搞周期函数才搞出来的,所以展开周期函数用傅里叶用的比较多

2π/nω当然是他的周期,但n是变量,而2π/ω是他的一个固定周期,不管n=多少,有利于计算