设a∈R，f（x）=a•2x+a−22x+1（x∈R）是奇函数，

∵f(x)＝
a•2x+a−2
2x+1=
a(2x+1)−2
2x+1＝a−
2
2x+1，
要使函数为奇函数，则必有f（-x）=-f（x），
即a−
2
2−x+1＝−a+
2
2x+1，
则2a=
2
2x+1+
2
2−x+1=
2
2x+1+
2•2x
1+2x=
2(2x+1)
2x+1=2
即a=1．
故答案为：1

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性，把原函数化简分离出字母a是解决问题的关键，属中档题．

（1）∵f(x)＝
a•2x+a−2
2x+1的定义域为R，且是奇函数，
∴f（0）=[a+a−2/2+1]=0，解得a=1，
（2）由（1）得，f(x)＝
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1，
∴f(x)＝1−
2
2x+1在R上单调递增函数，
证明如下：设x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=1−
2
2x1+1−(1−
2
2x2+1)
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
由f（1-5x）+f（6x²）＞0得，f（1-5x）＞-f（6x²）=f（-6x²），
∴1-5x＞-6x²，即6x²-5x+1＞0，
解得x＞
1
2或x＜
1
3，
故不等式的解集为：{x|x＞
1
2或x＜
1
3}．

点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．

∵f(x)＝
a•2x+a−2
2x+1=
a(2x+1)−2
2x+1＝a−
2
2x+1，
要使函数为奇函数，则必有f（-x）=-f（x），
即a−
2
2−x+1＝−a+
2
2x+1，
则2a=
2
2x+1+
2
2−x+1=
2
2x+1+
2•2x
1+2x=
2(2x+1)
2x+1=2
即a=1．
故答案为：1

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性，把原函数化简分离出字母a是解决问题的关键，属中档题．

∵f(x)＝
a•2x+a−2
2x+1=
a(2x+1)−2
2x+1＝a−
2
2x+1，
要使函数为奇函数，则必有f（-x）=-f（x），
即a−
2
2−x+1＝−a+
2
2x+1，
则2a=
2
2x+1+
2
2−x+1=
2
2x+1+
2•2x
1+2x=
2(2x+1)
2x+1=2
即a=1．
故答案为：1

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性，把原函数化简分离出字母a是解决问题的关键，属中档题．

∵f(x)＝
a•2x+a−2
2x+1=
a(2x+1)−2
2x+1＝a−
2
2x+1，
要使函数为奇函数，则必有f（-x）=-f（x），
即a−
2
2−x+1＝−a+
2
2x+1，
则2a=
2
2x+1+
2
2−x+1=
2
2x+1+
2•2x
1+2x=
2(2x+1)
2x+1=2
即a=1．
故答案为：1

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性，把原函数化简分离出字母a是解决问题的关键，属中档题．