设a∈R,f(x)=a•2x+a−22x+1(x∈R)是奇函数,

chogefish2022-10-04 11:39:541条回答

设a∈R,f(x)=
a•2x+a−2
2x+1
(x∈R)是奇函数,
(1)求a的值;
(2)解不等式f(1-5x)+f(6x2)>0.

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陈巧红 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%
解题思路:(1)根据函数的定义域是R且是奇函数,得f(0)=0可求得实数a的值;
(2)将解析式分离常数后判断出单调性,再利用定义法证明函数的单调性,利用函数的奇偶性将不等式转化为:f(1-5x)>-f(6x2)=f(-6x2),然后利用单调性解不等式.

(1)∵f(x)=
a•2x+a−2
2x+1的定义域为R,且是奇函数,
∴f(0)=[a+a−2/2+1]=0,解得a=1,
(2)由(1)得,f(x)=
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1,
∴f(x)=1−
2
2x+1在R上单调递增函数,
证明如下:设x1<x2
f(x1)-f(x2)=1−
2
2x1+1−(1−
2
2x2+1)
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)<0,
∴f(x1)<f(x2),
即f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
由f(1-5x)+f(6x2)>0得,f(1-5x)>-f(6x2)=f(-6x2),
∴1-5x>-6x2,即6x2-5x+1>0,
解得x>
1
2或x<
1
3,
故不等式的解集为:{x|x>
1
2或x<
1
3}.

点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质.

考点点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用定义法证明函数的单调性,以及函数单调性和奇偶性的综合应用,利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键.

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解题思路:先把已知函数化简,再由函数为奇函数可得f(-x)=-f(x),由此式可解a的值.

∵f(x)=
a•2x+a−2
2x+1=
a(2x+1)−2
2x+1=a−
2
2x+1,
要使函数为奇函数,则必有f(-x)=-f(x),
即a−
2
2−x+1=−a+
2
2x+1,
则2a=
2
2x+1+
2
2−x+1=
2
2x+1+
2•2x
1+2x=
2(2x+1)
2x+1=2
即a=1.
故答案为:1

点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明.

考点点评: 本题考查函数的奇偶性,把原函数化简分离出字母a是解决问题的关键,属中档题.

设a∈R,f(x)=a•2x+a−22x+1(x∈R)是奇函数,
设a∈R,f(x)=
a•2x+a−2
2x+1
(x∈R)是奇函数,
(1)求a的值;
(2)解不等式f(1-5x)+f(6x2)>0.
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解题思路:(1)根据函数的定义域是R且是奇函数,得f(0)=0可求得实数a的值;
(2)将解析式分离常数后判断出单调性,再利用定义法证明函数的单调性,利用函数的奇偶性将不等式转化为:f(1-5x)>-f(6x2)=f(-6x2),然后利用单调性解不等式.

(1)∵f(x)=
a•2x+a−2
2x+1的定义域为R,且是奇函数,
∴f(0)=[a+a−2/2+1]=0,解得a=1,
(2)由(1)得,f(x)=
2x−1
2x+1=1−
2
2x+1,
∴f(x)=1−
2
2x+1在R上单调递增函数,
证明如下:设x1<x2
f(x1)-f(x2)=1−
2
2x1+1−(1−
2
2x2+1)
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)<0,
∴f(x1)<f(x2),
即f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
由f(1-5x)+f(6x2)>0得,f(1-5x)>-f(6x2)=f(-6x2),
∴1-5x>-6x2,即6x2-5x+1>0,
解得x>
1
2或x<
1
3,
故不等式的解集为:{x|x>
1
2或x<
1
3}.

点评:
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∵f(x)=
a•2x+a−2
2x+1=
a(2x+1)−2
2x+1=a−
2
2x+1,
要使函数为奇函数,则必有f(-x)=-f(x),
即a−
2
2−x+1=−a+
2
2x+1,
则2a=
2
2x+1+
2
2−x+1=
2
2x+1+
2•2x
1+2x=
2(2x+1)
2x+1=2
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2x+1=
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2
2x+1,
要使函数为奇函数,则必有f(-x)=-f(x),
即a−
2
2−x+1=−a+
2
2x+1,
则2a=
2
2x+1+
2
2−x+1=
2
2x+1+
2•2x
1+2x=
2(2x+1)
2x+1=2
即a=1.
故答案为:1

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2
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要使函数为奇函数,则必有f(-x)=-f(x),
即a−
2
2−x+1=−a+
2
2x+1,
则2a=
2
2x+1+
2
2−x+1=
2
2x+1+
2•2x
1+2x=
2(2x+1)
2x+1=2
即a=1.
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