是闭集,而不是紧集的例子

证明A为闭集,B为紧集,则A+B为闭集

zhjush1881年前1

浅味斋 共回答了18个问题 | 采纳率100%

任取A+B中数列xn+yn设其收敛于z,由于B为紧集,故yn有收敛子列ynk,收敛于B中的y,从而xnk收敛于z-y,A是闭集表明z-y属于A,故数列xn+yn收敛于y+(z-y)属于A+B,这表明A+B为闭集.

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老师啊,我想问一个集合方面的问题,如果A和B都是闭集,A+B是不是闭集,如果不是,

红崖1年前1

牙丫头 共回答了18个问题 | 采纳率77.8%

A+B一定是Fσ型集,也就是可数个闭集的并,但不一定是闭集.有反例的.
但是,如果A是紧集,B是闭集,那么A+B就一定是闭集了.
这里的+指的是：任意x∈A+B,存在a∈A,b∈B,使得x=a+b,而不是简单的集合并运算

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设E是平面的有界闭集,d是E的直径,及d是E中任意两点距离的上确界,求证,在E中存在两点P1,P2使其距离为d.

brasa1年前1

xm_dbc4c_wq71_cc 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

平面上两点x,y的距离记为D(x,y).
由d = sup{D(x,y) | x,y∈E},存在E中点列{x[n]}与{y[n]},使d-1/n < D(x[n],y[n]) ≤ d.
E是有界闭集,故点列{x[n]}存在收敛子列{x[n[k]]},收敛于某点a∈E.
设z[k] = x[n[k]],w[k] = y[n[k]].
则由n[k] ≥ k,d-1/k ≤ d-1/n[k] < D(x[n[k]],y[n[k]]) = D(z[k],w[k]) ≤ d.
再由E是有界闭集,点列{w[k]}存在收敛子列{w[k[i]]},收敛于某点b∈E.
设u[i] = z[k[i]],v[i] = w[k[i]].
则由k[i] ≥ i,d-1/i ≤ d-1/k[i] < D(z[k[i]],w[k[i]]) = D(u[i],v[i]) ≤ d.
在上式中令i → ∞,有D(u[i],v[i]) → d.
由u[i]是z[k]的子列,z[k]收敛到a,有D(u[i],a) → 0.
又v[i]收敛到b,有D(v[i],b) → 0.
而由三角不等式,D(a,b) ≥ D(u[i],v[i])-D(u[i],a)-D(v[i],b).
令i → ∞即得D(a,b) ≥ d.
但a,b∈E,由d = sup{D(x,y) | x,y∈E},得D(a,b) ≤ d.
故D(a,b) = d,a,b即为满足要求的点.

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我有这样一个问题,若一有界闭集,边界上某点外紧挨着它的那个点,是否是聚点呢?根据定义我觉得就是啊

我有这样一个问题,若一有界闭集,边界上某点外紧挨着它的那个点,是否是聚点呢?根据定义我觉得就是啊
点没有大小嘛.如果对于任意给定的δ>0,点P的去心邻域Uo(P,δ)内总有E中的点,则 称P是E的聚点.

yumendexu1年前1

lp_34 共回答了26个问题 | 采纳率84.6%

如果那个点在闭集里,就是聚点.在外面就不是.
【你应该是觉得在闭集外的离边界很近的点是聚点.这种说法不对】
你说的“紧挨着”,不合理.
因为点是稠密的,任何2个很小的点间有很多点,不存在“紧挨着”.

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实变函数 证明:有限集必为闭集

抢钱小魔女1年前1

wlint 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%

首先单点集是闭集,证明如下：设集合S={a},它没有聚点,所以导集为空集,从而导集包含于S,按定义,它是闭集.
其次,有限个闭集的并集还是闭集,从而命题得证.
当然,如果对第二个结论不熟,那么也可以直接用定义证明.如果一个集合是有限集,它一定没有聚点,后同……
若有不懂,欢迎继续追问

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数分证明：开集与闭集问题.有限个开集交集仍是开集,闭集并集仍是闭集,举例说明：无限个开集交集未必是开集,闭集并集未必是闭

数分证明：开集与闭集问题.
有限个开集交集仍是开集,闭集并集仍是闭集,举例说明：无限个开集交集未必是开集,闭集并集未必是闭集

puji3cun1年前1

tydzwen 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

设Ai皆为开集,证明Ai的交是开集,其中1

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想知道有没有既是开集又是闭集的集合?

想知道有没有既是开集又是闭集的集合?
如果又,是什么集合?

噢Oyeah1年前2

ytty99 共回答了17个问题 | 采纳率94.1%

在拓扑学中,在拓扑空间中的闭开集(Clopen set)是既是开集又是闭集的集合.
例子
1.在任何拓扑空间 X 中,空集和整个空间 X 都是闭开集.
2.有些拓朴空间内有其他开闭集,如离散空间的任意子集都是闭开集.
3.考虑由两个区间 [0,1] 和 [2,3] 的并集构成的空间 X.在 X 上的拓扑从实直线 R 上的正常拓扑继承来的子空间拓扑.在 X 中,集合 [0,1] 和 [2,3] 都是闭开集.这是非常典型的例子:只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的,这些单元就是闭开集.
4.不太常见的例子,考虑所有有理数的空间 Q 带有它们的正常拓扑,和平方大于 2 的所有正有理数的集合 A.利用 √2 不在 Q 中的事实,可以非常容易的证明 A 是 Q 的闭开子集.(还要注意 A 不是实直线 R 的闭开子集；它在 R 中既不是开集也不是闭集.)

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如何严格证明只有空集和R^n既是开集又是闭集?其他都不可能.

忽复乘舟梦日边1年前1

juranjinw 共回答了21个问题 | 采纳率85.7%

首先要明确的是你所说的开集和闭集都是对欧式拓扑而言的.
这个可以用反证法证明,假设存在R^n中的子集A既是闭集又是开集,那么根据开集定义,对于任意点a属于A,都是A中的内点,即总是存在一个足够小的a的开邻域B（r,a）使得B包含于A；
如果r的取值是任意的,显然A=R^n.否则总是存在足够大的r使得B-A为非空,即B不包含于A.
那么满足B包含于A的r的值必有上确界R.
当d（a,b）=R时,
若b属于A,由于A是开集,因此b是A中的内点.
若b不属于A,由于A是闭集,那么A补是开集,b是A补中的内点.
设C={b:d（a,b）=R,b属于A}；D={b:d（a,b）=R,b不属于A}；显然C并D={b:d（a,b）=R}
显然d（C,D）=0,那么存在一个点对列（cn,dn）,使得当n趋于无穷时,d（cn,dn）=0
由于cn是有界点列,因此比有收敛子列,不妨设cn收敛到c,
同理dn也是有界点列,因此在cn收敛的情况下,dn也有收敛子列,因此不妨设cn收敛于c,同时dn收敛于d.由于d（cn,dn）=0当n趋于无穷时,因此c=d；
若c属于C,那么c属于A,由于不属于A是的点列dn收敛于c,（注意D是A补的子集）,因此c不是A中的内点,与A是开集矛盾；
同理当c属于D时,于A补是开集矛盾.
因此假设命题不成立,不存在既是开集有是闭集的集合；
PS：我不知道你的水平,如果你是数学系研究生的话,这个就好办了.由于R^n是连通空间,因此不存在连通分支,因此任何子集都不可能既是开集又是闭集.

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麻烦您证明：E为闭集的充要条件是E的边界属于E

qilukanhai1年前1

vivi-mc 共回答了20个问题 | 采纳率90%

E是闭集等价于E＝E的闭包＝E并上E的导集.
而边界点或是E的孤立点,或是E的聚点.
因此,若E是闭集,则聚点属于E,而孤立点必属于E,因此
边界位于E中.
反之,若边界位于E中,则聚点都位于E,故
E是闭集.

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证明或反驳下面的集合是闭集,为什么0不在A之中？

hk_lin11年前1

wzly886 共回答了15个问题 | 采纳率100%

不是闭的.显然0是A的一个聚点,但是0不在A之中 （对任意的n,1/n,n/(n+1),2n/(n+1))都不可能是0,1/n只是在n=无穷大的时候才出现,实际上就是0是{1/n}的极限,可以无穷接近,但是不会是零

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定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A且a/b（b≠0）∈A”的集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,

定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A且a/b（b≠0）∈A”的集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,R是

nicholas1年前2

s刘东东 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%

1,2 ∈ N,Z 但商 1/2 不属于 N,Z；
故 N 不是“闭集”.【术语即 “数域”.】
同时,Q,R 对四则运算是封闭的,即两个 有理数Q（实数R）的 和、差、积、商
仍是 有理数Q（实数R）,
故Q,R是“闭集”.

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点集的边界是闭集 请高手给出有力的证明过程

swingsing1年前1

3004202292 共回答了20个问题 | 采纳率90%

其实这个只要了解定义就可以轻松证明了.
设E为任意点集,E1为E的闭包,E2为E的内核（即E的内点全体）,用E3表示E的边界点,则E3={x|x∈E1,x不属于E2}（这一定义可在任一集合论著作中见到）,因此E3=E1-E2.因为E1为闭集（E1包含E的所有聚点）,E2为开集（E2中只有E的内点）,所以E3=E1-E2为闭集.

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定义满足如果a∈A,b∈A ,那么a±b∈A,且ab∈A,且a/b∈A的集合A为“闭集”, N,Z,Q,R是否为闭集,若

定义满足如果a∈A,b∈A ,那么a±b∈A,且ab∈A,且a/b∈A的集合A为“闭集”, N,Z,Q,R是否为闭集,若是…
定义满足如果a∈A,b∈A ,那么a±b∈A,且ab∈A,且a/b∈A的集合A为“闭集”, N,Z,Q,R是否为闭集,若是,说明理由,若不是,请举反例说明. 只求解释Q是不是闭集,为什么?（如果a=1,b=3,1/3所得结果为无理数,所以Q不是闭集,对吗?）如果答案和以下两种相同,免答.①Q：有理数的和差积商（如果有意义）均为有理数.所以是闭集.
②Q 对四则运算是封闭的,即两个有理数Q的和、差、积、商仍是有理数Q.

花枝妖妖1年前1

q65hg21 共回答了14个问题 | 采纳率100%

N不是的,对减法或者除法不满足；
Z不是的,对除法不满足；
Q是的；R也是的.【3分之1不是无理数】

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拓扑学 ：A,B是拓扑空间X的子集 （A交B）的闭集的内部=（A的闭集的内部）交（B的闭集的内部）

01040700801年前1

wahahade0312 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

利用如下两条性质：
A的闭包并上B的闭包=（A并B）的闭包
A的内点=A的补集的闭包的补集

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证明：有界连续函数的集合是闭集

wuwr1年前2

kona111 共回答了20个问题 | 采纳率90%

这题出的有问题.B:={f,f is bounded and continues}不是闭集,还有,所谓的闭集,开集必须首先明确在哪个空间中的闭集,开集.例如:B:={f:[0,1]->R,f bounded and continues} 就不是C:={f:[0,1]->R,f bounded}中的闭集.
还有一个问题问楼上:不是闭集,未必就是开集,例如 (0,1] 不是闭集,不是开集.

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多元函数闭区域是否一定有界,闭区域是否可以理解为连通的闭集?

中谷nn1年前1

第八只眼睛 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

多元函数在闭区域上必有界.
闭区域肯定是闭集,但未必是连通的.

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设X,Y与拓扑空间f:x->y.证明,f是连续映射Y的任一闭集F的原像 都是X的闭集.

设X,Y与拓扑空间f:x->y.证明,f是连续映射Y的任一闭集F的原像 都是X的闭集.
着急等～

小脚乱1年前0

共回答了个问题 | 采纳率

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若集合S满足对任意的a，b∈S，有a±b∈S，则称集合S为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是（　　）

若集合S满足对任意的a，b∈S，有a±b∈S，则称集合S为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是（　　）
A．自然数集N
B．整数集Z
C．有理数集Q
D．实数集R

处罚十四号1年前1

aixin111 共回答了23个问题 | 采纳率87%

当a=1，b=2时，
满足a，b∈N，
但a-b∉N，
故集合N不是闭集，
故选：A．

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证明紧集是有界闭集

wstno11年前1

rainvoice 共回答了24个问题 | 采纳率87.5%

首先对R^n来说,紧致性和列紧性是等价的概念（对一般的距离空间也是如此）,具有这种性质的紧集又称为紧致-列紧集,证明紧集是有界闭集用列紧性的概念比较容易.用反证法,列紧性是说集合中的任意点列都有收敛于该集合中某点的子列,假设紧集A不是有界的,那么就存在点列xn使得||xn||>n,如果这点列有收敛于集合A中点a的子列xnk,即limxnk=a,那么这就和||xnk||>nk矛盾了；再假设紧集A不是闭的,那么就存在点列yn使得limyn=b不属于A,从而yn的任何子列也都收敛于b,yn也就不可能有子列收敛于A中某点了,矛盾.从以上两个矛盾证明了,紧集一定是有界闭集.

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数分概念问题1.什么是孤立的边界点?孤立的边界点是外点吗?请举例说明2.闭集一定有界吗?举例说E＝｛x²+y&

数分概念问题
1.什么是孤立的边界点?孤立的边界点是外点吗?请举例说明
2.闭集一定有界吗?举例说E＝｛x²+y²≤1,或（x,y）＝（2,2）｝；这个例子能说明什么?（x,y）＝（2,2）是聚点吗?
3.包含其所有聚点的点集称为闭集,那么闭集里一定全是聚点吗?

爱你没距离1年前1

28559578 共回答了12个问题 | 采纳率75%

课本上有,这个考试根本用不着.

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任意多个开集的交一定是（ ） A闭集B开集C完备集D可测集

Moon_rain1年前5

人生驿站000 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

严格的说都不对,应该改成至多可数多个开集的交,这么改的话选D

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如何证明T1空间的导集是闭集?我希望最好用kuratowski闭包公理的定义证明之,我想问题中的拓扑由拓扑基导入.如果该

如何证明T1空间的导集是闭集?
我希望最好用kuratowski闭包公理的定义证明之,我想问题中的拓扑由拓扑基导入.如果该定理是杨忠道定理的推论,那杨忠道定理又如何证明?

tzjime1年前2

JTMC 共回答了18个问题 | 采纳率83.3%

设X是T1空间,则对任意的x∈X,c({x})={x},因为x不属于d({x}),所以d({x})=空集 所以,X每一单点集的导集是闭集,再根据杨忠道定理 得证这个证明是从我的教科书上看到的

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空集和全空间Rn即是开集又是闭集,

斜斜-91年前1

cryfly 共回答了16个问题 | 采纳率87.5%

因为空集是闭集这个好理解 所以他的补集也就是全空间是开集
因为全空间是闭集好理解 所以他的补集也就是空集是开集

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证明：每个闭集必是可数个开集的交集;每个开集可以表示成可数个闭集的并集.

angel8103021年前2

流荧cyyy 共回答了9个问题 | 采纳率88.9%

知道距离函数：d(x)=inf{||x－y||,y位于A},由于A是闭集,可以证明A＝｛x：d(x)=0｝,且d(x)是一致连续函数.
由此易知A＝An的交集（n＝1,2,...,无穷）,其中An＝｛x：d(x)

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f(x)在[a,b]连续,当且仅当 对任意实数m,满足f(x)>=m的x的集合为闭集 怎么证明?

水漾psl1年前1

红塘 共回答了14个问题 | 采纳率100%

因为f在[a,b]上连续,所以s:=max{f(x)| x属于[a,b]}=m}={x属于[a,b]|m

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拓扑空间中的开集怎么定义的?在有些书籍以及网络上说,拓扑空间的元素就是开集.我也没有看到开集的集体怎么定义,倒是闭集是根

拓扑空间中的开集怎么定义的?
在有些书籍以及网络上说,拓扑空间的元素就是开集.我也没有看到开集的集体怎么定义,倒是闭集是根据：其补集为开集定义的.现在说一个拓扑空间中的元素即为开集吗?但是我们给定一个X,去寻找他的所有子集,并且为开集,同时满足拓扑定义的3条件.那么我们现在不知道开集,又怎么去把开集选出来呢?
或许我理解有误.请大侠指点.

14号的卡卡1年前1

baby8025 共回答了19个问题 | 采纳率89.5%

拓扑空间的开集是不定义的概念,犹如平面几何的点、直线是不定义的概念.因此有所谓“平庸的拓扑”,“离散的拓扑”.
初学者感到抽象,不妨借助于数学分析的开集——为模型,犹如把光线当作直线的模型.
数学分析的开集：集合中的每一个点都是内点,即它的充分小的邻域仍包含于这个集合.
仅供参考.

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用紧致性证明实数上的有界闭集有最大值

用紧致性证明实数上的有界闭集有最大值
Use compactness to prove that a closed bounded set of real numbers has a maximum.
请问有谁能证明或给出思路,

薇淇1年前1

kibumicky 共回答了15个问题 | 采纳率100%

应该来说实数上的有界闭集有最大值,可以联系到函数f在闭区间上连续有最大值和最小值来理解.实数可以一一对映到函数f上.只需给个对映相等值的函数就行.
原命题可以说函数f在某个闭区间上连续有界,则f在该闭区间上有最大值最小值.
证明：由f有界,故由确界原理,f在闭区间上有上确界,记为M,即现在证明存在一点在该闭区间内有其函数值为M,设闭区间为[a,b],即需证明存在一点x0属于[a,b],使得f(x0)=M.
反证法：设对一切x属于[a,b]都有f(x)

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如何证明T1空间的导集是闭集?我希望最好用kuratowski闭包公理的定义证明之,我想问题中的拓扑由拓扑基导入.如果该

如何证明T1空间的导集是闭集?
我希望最好用kuratowski闭包公理的定义证明之,我想问题中的拓扑由拓扑基导入.如果该定理是杨忠道定理的推论,那杨忠道定理又如何证明?

chen_bing1年前2

zb_candybaby 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

设X是T1空间,则对任意的x∈X,c({x})={x},因为x不属于d({x}),所以d({x})=空集 所以,X每一单点集的导集是闭集,再根据杨忠道定理 得证这个证明是从我的教科书上看到的

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证明平面上有限点集为闭集

simplewind11年前1

本性也是不安 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

设F是一有限点集,只要证明F的补集G是开集就行了
对于任意x属于G,令d=min{|x-y|:y属于F}
因为F是有限集,且x不属于F,所以d>0
于是求{y:|y-x|

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我想要证明一个集合是紧致的,就要证明它是有界闭集,那么有界集和闭集俩者有什么区别吗

G梦飘渺1年前1

lingyuan805 共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

有界集和闭集当然是不一样的,有界性是是指整个集合都可以包含在某个开球内部,闭集是指这个集合内所有的极限点都属于这个集合.以R^2为例,集合x^2+y^2

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闭集与闭包已知集合B是A的闭包,那么B是不是闭集?大虾们~书上的所有例子都说明B闭集,但是没有证明阿~怎么证明?越快越好

roadbus1年前1

美丽的葡萄树 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%

考虑B的补集C,任取一点c
c有个邻域E交A为空集
如果这个领域交B不空,则有一点a属于E交B
a的领域交B都非空,得到c的邻域和A交,矛盾
所以C是开集
B就是闭集

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证明聚点集是一个闭集

cauzcl1年前1

hanzheng10 共回答了21个问题 | 采纳率100%

对任意的a不是A的聚点,由聚点的性质知道,存在r>0,使得以a为球心,以r为半径的空心球Br(a)中不含有A的点.很显然,球Br(a)中的点都不是A的聚点,因此a是聚点集的补集的一个内点.
由a的任意性知道聚点集的补集是开集,因此聚点集是闭集.

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证明每一个闭集是可数个开集的交集

证明每一个闭集是可数个开集的交集
请给出详细证明

angelchane1年前1

xiaoyuhehe 共回答了28个问题 | 采纳率85.7%

这里的空间大概是标准拓扑的R^n吧.对任意闭子集S,定义U(k) = ∪{x∈S} B(x,1/k),其中k为正整数.即以S中各点为球心,1/k为半径的开球之并.任意多个开集之并仍是开集,因此U(k)是开集.此外易见S ⊆ U(k).考虑这可数...

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f：M->N 是连续的满射,已知M是紧空间.求证：1,A是N中的闭集当且仅当A在M中的原像是闭集.2,如果f是一一映射,

f：M->N 是连续的满射,已知M是紧空间.求证：1,A是N中的闭集当且仅当A在M中的原像是闭集.2,如果f是一一映射,那么f逆也是连续的.

liupeiliang061年前1

一语天然 共回答了16个问题 | 采纳率100%

三个基本结论
a) f是连续映射 等价于 开集在f下的原像是开集 等价于 闭集在f下的原像是闭集
b) 紧集的闭子集是紧集
c) 紧集在连续映射下的像是紧集
代进去马上就得到结论

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[0,1]的全部有理数的集合是否是闭集.

[0,1]的全部有理数的集合是否是闭集.
感觉是,

xiarimomocha1年前2

虫虫幻想 共回答了20个问题 | 采纳率90%

不是闭集,因为[0,1]上的有理数集合A的闭包是[0,1],不包含在A中,所以A不是闭集.
还可以在A中找一个有理数列,其极限是一个无理数(因为有理数在实数中稠密),显然这个极限不在A中,所以,A不是闭集

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实变函数 设f1,f2是rn中闭集,且f1∩f2=空集,试证明存在开集G1,G2,使得G1∩G2=空集且有G1包含F1,

实变函数 设f1,f2是rn中闭集,且f1∩f2=空集,试证明存在开集G1,G2,使得G1∩G2=空集且有G1包含F1,G2包含F2

咔叽龙卷风1年前1

竹林斜影 共回答了14个问题 | 采纳率85.7%

王丽丽呀!

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证明：无理数全体不能表示成可列个闭集的并集

大声点听不到1年前1

生态文化 共回答了23个问题 | 采纳率91.3%

证明：用反证法.
假设无理数全体A可表示成可列个闭集的并集：A=[a1,b1]∪[a2,b2]∪……∪[an,bn]∪……
因为无理数全体不可列,则存在k(k为正整数),使在[ak,bk]内存在不少于2个无理数.
在[ak,bk]内任取2个无理数c、d,不妨设c

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[1,+∞）是闭区间还是开区间直线上闭集与闭区间有区别吗

xkjack1年前1

air_edward 共回答了16个问题 | 采纳率93.8%

半开半闭区间

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数学高手进度量空间(X,d)的开集与闭集的性质1任意个开集的并是开集 1‘任意个闭集的交是闭集2有限个开集的交是开集 2

数学高手进
度量空间(X,d)的开集与闭集的性质
1任意个开集的并是开集 1‘任意个闭集的交是闭集
2有限个开集的交是开集 2’有限个闭集的并是闭集
这里为什么是“有限个开集的交是开集而不是任意”?关于闭集同样问题?

零下一度的冬天1年前12

阳美玉 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%

因为可以举反例：
任意个开集的交不一定是开集：如在一维欧式空间中,区间列(-1/n,1+1/n),n=1,2,3,.是一列开集,但是他们的交却是[0,1],这是一个闭集.
任意个闭集的并不一定是闭集,如[1/n,1-1/n],n=1,2,3,.是一列闭集,但是他们的并是（0,1）,这是一个开集.

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构造个函数f（x,y）映射到R上的一个函数,定义域是个有界闭集,f递增,但f不存在最大值.

无色19801年前1

122118 共回答了20个问题 | 采纳率90%

在一个三角形上,斜边的法向量是（1,1）.在斜边的一列点上取值（1,2,3,4,5,.）在三角形的其他点上都取0.

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