求∫(arctanx/x^2)dx,下面是我算的,答案怎么是(-1/x)*arctanx-(1/2)ln(1+1/x^2

云丽虫虫2022-10-04 11:39:541条回答

求∫(arctanx/x^2)dx,下面是我算的,答案怎么是(-1/x)*arctanx-(1/2)ln(1+1/x^2)+C
设u=arctanx,1/x^2 dx=d(1/-x)=dv
∫(arctanx/x^2)dx
=(1/-x)arctanx-∫(1/-x)*d(arctanx)
=(1/-x)arctanx+∫1/(1+x^2)*d(ln lxl)
=(1/-x)arctanx+∫(1+x^2-x^2)/(1+x^2)*d(ln lxl)
=(1/-x)arctanx+ln lxl-(1/2)ln l1+x^2l+C

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supeman 共回答了19个问题 | 采纳率100%
你和答案是一样的啊
ln|x| - (1/2)ln(1+x^2)
= 1/2[lnx^2 - ln(1+x^2)]
=1/2ln[x^2 / (1+x^2)]
=-1/2 ln[(1+x^2)/x^2]
=-1/2 ln(1+1/x^2)
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你的问题可以化为
∫arctan(1/x) dx
于是可以用分部积分:
∫arctan(1/x) dx
=arctan(1/x)*x-∫x*1/(1+1/x^2) *(-1/x^2) dx
=arctan(1/x)*x+∫x*1/(1+x^2) dx
=arctan(1/x)*x+(1/2)∫1/(1+x^2) d(x^2+1)
=arctan(1/x)*x+(1/2)*ln(1+x^2)+c
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两题都是分部积分法
1)原式=∫1/x*dx+∫ln(1-x)/x^2*dx
=lnx-ln(1-x)/x+∫1/x(x-1)*dx
=lnx-ln(1-x)/x+ln[(x-1)/x]+C
2)原式=-arctanx+∫1/x(x^2+1)*dx
=-arctanx+1/2*ln[x^2/(x^2+1)]+C
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用分部积分,
设u=arctanx,v'=1/x^2
u'=1/(1+x^2),v=-1/x,
原式=-(arctanx)/x+∫ dx/[x(1+x^2)]
=-(arctanx)/x+∫(-x) dx/(1+x^2)+∫ dx/x
=-(arctanx)/x-(1/2)∫d(1+x^2)/(1+x^2)+∫ dx/x
=-(arctanx)/x-(1/2)ln(1+x^2)+ln|x|+C