p元有限域Fp上的问题.考虑p元有限域F(p)={0,1,2...,p-1},记Hp=1-1/2+1/3-1/4+...

hywww2022-10-04 11:39:541条回答

p元有限域Fp上的问题.
考虑p元有限域F(p)={0,1,2...,p-1},记Hp=1-1/2+1/3-1/4+...-1/(p-1).
问是否存在素数p>=3.使得Hp=0?

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77205496 共回答了23个问题 | 采纳率73.9%
是存在的.
我用软件搜索了p < 200000的情况,只找到p = 1093,3511两个例子.
找到这两个例子才注意到它们是所谓Wieferich素数,即满足2^(p-1) ≡ 1 (mod p²)的素数.
英文wiki"Wieferich prime"词条"Equivalent definitions"一节提到两种刻画是等价的.
因此根据最近的搜索结果,在1.2×10^17以下也只有这两个例子.
1年前

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写了一个有限域上矩阵求秩的函数,旁观者清.能否帮我看看是不是有问题(逻辑上的)?
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使用的是高斯消去的行初等变换,
能够提出优化同样欢迎.将采纳第一位提出Bug 的大侠.
/* 求秩 */
// GMatrix mat 是有限域上的矩阵
int Rank_(GMatrix mat){
int i,j,k;
int jtimes;
// 跳出,当循环到矩阵行末或列末
// mat.rr 为行数,mat.cc 为列数
for(i = 0,j = 0; (i < mat.rr)&&(j < mat.cc); ++i,++j){ // i:row,j:col
if(mat.Get(i,j)==0){ // leading entry = 0
for(k = i+1; k < mat.rr; ++k){ // 在同列下面的找头一个项不是零的
if(mat.Get(k,j)!=0){ // 第k 行找到了,则将第k 行加到第 i 行
mat.Row_plus_row(i,k);
break;
}
}
if(k >= mat.rr){ //如果这列所有的元素都是零,则移动到下一列
--i;
continue;
}
}
for(k = i+1; k < mat.rr; ++k){ //用第i 行将余下所有行第j 列元素都消去
if(mat.Get(k,j) == 0) continue; //如果该行第j 列元素为零则不用消去
//galois_single_divide()是在伽罗瓦域上mat.Get(i,j)除以mat.Get(k,j),mat.ww 是域大小
jtimes = galois_single_divide(mat.Get(k,j),mat.Get(i,j),mat.ww);
//Row_plus_irow 将第i 行元素乘以jtimes 加到第k 行上
mat.Row_plus_irow(k,i,jtimes);
}
}
//当到达行末或者列末,则行初等变换结束
return i; //返回初等变换的最后一行即秩大小
}
oktrinket1年前1
萨哈 共回答了18个问题 | 采纳率100%
ug1:
//galois_single_divide()是在伽罗瓦域上mat.Get(i,j)除以mat.Get(k,j),mat.ww 是域大小
jtimes = galois_single_divide(mat.Get(k,j), mat.Get(i,j), mat.ww);
这里是谁除以谁?为什么我觉得弄反了?
bug2:
//Row_plus_irow 将第i 行元素乘以jtimes 加到第k 行上
mat.Row_plus_irow(k, i, jtimes);
应该是第k行减去第i行乘以jtimes,不是加上吧?
关于近世代数中的有限域,GF(2)域
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请哪位高手能形象的告诉我有限域是什么样的东西,有什么用!
sagogogo1年前3
夜鼠 共回答了21个问题 | 采纳率90.5%
仅含有限多个元素的域.它首先由E.伽罗瓦所发现,因而又称为伽罗瓦域.它和有理数域、实数域比较,有着许多不同的性质.
目录
简介
条件
编辑本段
简介
最简单的有限域是整数环Z 模一个素数p得到的商环Z/(p),由p个元素0,1,…,p-1组成,按模p相加和相乘.
J.H.M.韦德伯恩于1905年证明了“有限除环必是乘法交换的”.因此,有限除环就是现在所说的有限域.
编辑本段
条件
集合F={a,b,…},对F的元素定义了两种运算:“+”和“*”,并满足以下3个条件,
•F1:F的元素关于运算“+”构成交换群,设其单位元素为0.
•F2:F{0}的元素关于运算“*”构成交换群.即F中元素排除元素0后,关于*法构成交换群.
•F3:分配率成立,即对于任意元素
a,b,c∈F,
恒有
a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c
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某些对称密码算法的置乱运算也是构建在有限域上的
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1 我想问的是此时有明文M如何用g^ab加密和解密,以及算法的数学基础.
2 还是说只能用公钥g^a和g^b分别加密,那这种情况的数学基础是什么,数学基础要具体的运算式子,谁都知道是离散对数!
行走的黑颈鹤1年前1
笑傻涕淌小郎君 共回答了14个问题 | 采纳率92.9%
加密的时候直接用X=M*g^{ab}来实现,mod q就不写了,反正你知道域的概念.
至于解密,就是要知道g^{-ab}.以A为例,A已经掌握的信息是g,a,q,g^b,那么
g^{-ab}=g^{-ab+b(q-1)}=g^{b(q-1-a)}=(g^b)^{q-1-a}
这里唯一需要的条件就是g^{q-1}=1,注意{1,2,…,q-1}的乘法构成群,所以由Lagrange定理可得到g^{q-1}=1.
原理就是这样,这种方法叫Diffie–Hellman交换.
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比如在有限域Fq上,q=素数p的m次方,问这个域上的极小多项式次数是多少
PS:上述域是这样生成的,先取域Fp,然后在该域上生成多项式,然后再模掉它的m次多项式的素理想,所得商环即为Fq
在此先谢过了!
hbb_ld2dge56f_0_1年前1
ANYU123 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%
问题的叙述有些概念不清.
要讨论极小多项式必需指明是哪个元素在哪个域上的极小多项式.
具体来说,若K是F的一个扩域,a是K中的元素并在F上为代数元,
则a所满足的,系数在F中的,首一不可约(在F[x]中)多项式(是唯一的)就是a在F上的极小多项式.
对于K中的不同元素,极小多项式的次数可能不同(即便有限域也一样).
因此不能简单讨论"这个域上的极小多项式的次数".
另外,Fq的构造也有点问题.
应该是任取Fp[x]中的m次不可约多项式f(x),生成F[x]中的素理想(f(x)),
则商环Fp[x]/(f(x))是一个q元有限域Fq.
也许你是想问Fq在Fp上的生成元的极小多项式的次数?这样的话就是m.
因为a在F上的极小多项式次数就是F[a]/F的扩张次数.
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dongzhiboy1年前1
有来有去M 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%
x^m/x^n=x^(m-n)指数相减即可
十进制转换为二进制的方法可以是加权系数考虑
具体是:w^-n=……2^n+……2^2+2+1+1/2+1/2^2+1/2^3+……1/2^n……
如果,w^-n求得的是整数,那么短除法亦可,加权系数法通用
如果,w^-n就得是小数,那么乘2进位法亦可,加权系数法通用
真心请教有限域问题,代数高手不吝赐教,高分奉送
真心请教有限域问题,代数高手不吝赐教,高分奉送
有限域GF(q)有两种类型:一种是q为素数,这种域同构于整数模p的同余类域。这种域我已经懂了。
另一种是q=p^m,p为素数,这种我不太懂。
书上说域中的元素是(m-1)阶的多项式。多项式的系数是整数模p的同余类域的元素,域中运算为模f(x)。这些话我不太懂,希望哪位高手能以GF(2^3),即GF(8)为例。说明域中的元素是什么,它的本原元是什么,怎么求的?
我现在只知道,因为8-1=7,所以域中本原元个数为(7^0)*(7-1)=6个,这个理解对吗?
*********************************************************************
诚心请教,希望基于GF(8)给出解释,谢绝引用教材。
人丑1米791年前4
看天情了 共回答了20个问题 | 采纳率85%
我来给你解答。
第一个问题,GF(8)是怎么构造的。
域有两类,有限域和无限域,这既是根据域中元素的个数来划分的,也是根据域的特征来划分的。如果一个域的特征是0,那么这个域是无限域,比如Q,C。如果域的特征是p,那么这个域就是有限域,并且域中元素的个数一定是p^n个,这里p是素数。
对于有限域GF(q)的构造,如果q是素数,那么模q的剩余类环就是需要构造的域。否则,如果q是素数方幂,那么GF(q)同构于GF(p)[x]/f(x),f(x)是GF(p)上的不可约n次多项式。
说这个可能你不太明白,用你的例子来说更具体。
GF(8)=GF(2^3),为了构造这个域,需要找一个在GF(2)上不可约的三次多项式,比如f(x)=x^3+x+1(所谓在GF(2)上不可约,就是0,1都不是这个多项式的根),那么GF(2)[x]/f(x)就是GF(8).把它的元素都写出来
GF(2)[x]/f(x)={a+bx+cx^2, a,b,c in GF(2)}
写出来有8个元素{0,1,x,x+1,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1}.
他们的运算都按照模掉f(x)来加,乘。
第二个问题
本原元的个数,GF(8)的乘法群是8-1=7阶循环群,那么本原元的个数就是phi(7)=6,这里phi是欧拉函数。
希望你能看明白,如果有问题可以再讨论。
已知f(x)=x4+x+1为F2[X]中的不可约多项式.利用f(x)构造有限域F2的4次方.(1)列出F2的4次方中所有
已知f(x)=x4+x+1为F2[X]中的不可约多项式.利用f(x)构造有限域F2的4次方.(1)列出F2的4次方中所有元素
(2)令a(x)=x3+x+1,b(x)=x2+1,计算a(x)+b(x),a(x)b(x)和a(x0的逆元!x后面的均为次方!万分感激……
diablo13451年前1
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F2[X]是什么?
什么情况下的有限域F,使得F\{0}在乘法下构成群?
什么情况下的有限域F,使得F{0}在乘法下构成群?
如题..
发tt1年前1
泪如雨下视mm 共回答了18个问题 | 采纳率88.9%
任意的有限域,非零元素的集合,在域的乘法下都是一个群,并且是一个循环群.
你可以检查一下域的定义.域对乘法是封闭的.
有限域中提及了多少种多项式
雄关漫道从头越1年前1
塞外柯少 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%
很多种,想极小多项式,不可约多项式,割圆多项式,特征多项式,q-多项式,二项式,三项式,

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