有限域中元素的除法运算问题有限域GF（2^4）中,非零元素都可以表达成w^m的形式,那么两个非零的元素如何做除法运算?比

离散数学判断题
1.若R不是A上的自反关系,则R一定是A上的反自反关系（）
2.循环群的子群必是循环群（）
3.任意有限域的元素个数均为2的n次方（n≥1）（）
4.若无向图G中恰有两个度数为奇数的节点,则该两点必可达（）

写了一个有限域上矩阵求秩的函数,旁观者清.能否帮我看看是不是有问题（逻辑上的）?
使用的是高斯消去的行初等变换,
能够提出优化同样欢迎.将采纳第一位提出Bug 的大侠.
/* 求秩 */
// GMatrix mat 是有限域上的矩阵
int Rank_(GMatrix mat){
int i,j,k;
int jtimes;
// 跳出,当循环到矩阵行末或列末
// mat.rr 为行数,mat.cc 为列数
for(i = 0,j = 0; (i < mat.rr)&&(j < mat.cc); ++i,++j){ // i:row,j:col
if(mat.Get(i,j)==0){ // leading entry = 0
for(k = i+1; k < mat.rr; ++k){ // 在同列下面的找头一个项不是零的
if(mat.Get(k,j)!=0){ // 第k 行找到了,则将第k 行加到第 i 行
mat.Row_plus_row(i,k);
break;
}
}
if(k >= mat.rr){ //如果这列所有的元素都是零,则移动到下一列
--i;
continue;
}
}
for(k = i+1; k < mat.rr; ++k){ //用第i 行将余下所有行第j 列元素都消去
if(mat.Get(k,j) == 0) continue; //如果该行第j 列元素为零则不用消去
//galois_single_divide()是在伽罗瓦域上mat.Get(i,j)除以mat.Get(k,j),mat.ww 是域大小
jtimes = galois_single_divide(mat.Get(k,j),mat.Get(i,j),mat.ww);
//Row_plus_irow 将第i 行元素乘以jtimes 加到第k 行上
mat.Row_plus_irow(k,i,jtimes);
}
}
//当到达行末或者列末,则行初等变换结束
return i; //返回初等变换的最后一行即秩大小
}

关于近世代数中的有限域,GF（2）域
请哪位高手能形象的告诉我有限域是什么样的东西,有什么用!

离散对数加密算法
首先,A、B两人要共同公开约定一个素数q和有限域Fq中的一个生成元g； 　　A选定一个随机数a∈{1,2,…,q-1}（a可以认为是A之私钥）,并将g a(modq)传送给B； 　　B选定一个随机数b∈{1,2,…,q-1}（b可以认为是B之私钥）,并将gb(modq)传送给A； 　　此时A可以算出(g b)a(modq),B也可以算出(g a)b(modq),由于(gb)a(modq) = (g a)b(modq) = g ab(modq),因此,A和B就形成了一个公共的密钥g ab(modq),日后便可以此钥来进行传统的加密解密计算,
1 我想问的是此时有明文M如何用g^ab加密和解密,以及算法的数学基础.
2 还是说只能用公钥g^a和g^b分别加密,那这种情况的数学基础是什么,数学基础要具体的运算式子,谁都知道是离散对数!

有限域上的极小多项式,次数怎么求
比如在有限域Fq上,q=素数p的m次方,问这个域上的极小多项式次数是多少
PS：上述域是这样生成的,先取域Fp,然后在该域上生成多项式,然后再模掉它的m次多项式的素理想,所得商环即为Fq
在此先谢过了!

真心请教有限域问题，代数高手不吝赐教，高分奉送
有限域GF(q)有两种类型：一种是q为素数，这种域同构于整数模p的同余类域。这种域我已经懂了。
另一种是q=p^m,p为素数，这种我不太懂。
书上说域中的元素是（m-1）阶的多项式。多项式的系数是整数模p的同余类域的元素，域中运算为模f(x)。这些话我不太懂，希望哪位高手能以GF(2^3)，即GF(8)为例。说明域中的元素是什么，它的本原元是什么，怎么求的？
我现在只知道，因为8－1＝7，所以域中本原元个数为(7^0)*(7-1)=6个，这个理解对吗？
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诚心请教，希望基于GF(8)给出解释，谢绝引用教材。

p元有限域Fp上的问题.
考虑p元有限域F(p)={0,1,2...,p-1},记Hp=1-1/2+1/3-1/4+...-1/(p-1).
问是否存在素数p>=3.使得Hp=0?

已知f(x)=x4+x+1为F2[X]中的不可约多项式.利用f(x)构造有限域F2的4次方.（1）列出F2的4次方中所有元素
（2）令a(x)=x3+x+1,b(x)=x2+1,计算a(x)+b(x),a(x)b(x)和a(x0的逆元!x后面的均为次方!万分感激……

什么情况下的有限域F,使得F{0}在乘法下构成群?
如题..